Questão 9. Seja o campo vetorial
. Mostre que:
(a)
, para todo caminho fechado, simples, orientado no sentido anti-horário que circunde a origem sem passar por ela.
(b)
, para todo caminho fechado, simples, que não passe pela origem nem a circunde.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
definido em
e pede para calcular a integral de linha fechada
em dois casos:
(a) simples, positiva (anti-horário) e envolvendo a origem;
(b) simples que não passa nem envolve a origem.
O conteúdo envolve rotação (curl) do campo, Teorema de Green e invariância sob deformações que não cruzem singularidades.
(a)
(b)
O conteúdo envolve rotação (curl) do campo, Teorema de Green e invariância sob deformações que não cruzem singularidades.
Passo 2
Vamos primeiro mostrar que a rotação de
é zero em todo ponto onde está bem definida. Calculamos
Logo, a componente escalar do curl em
é
Passo 3
Se
não envolve a origem, então
é fronteira de uma região
simplesmente conexa onde
. Pelo Teorema de Green,
Isso prova o item (b).
Passo 4
Para um caminho
que envolve a origem, a região interna não é simplesmente conexa e não podemos usar Green direto. No entanto, toda curva fechada simples que envolve a origem pode ser deformada continuamente (sem cruzar o ponto singular) a um círculo de raio
centrado na origem, de orientação anti-horária. A integral é invariante sob essa deformação porque
no anel entre as curvas.
Passo 5
Parametrizando o círculo de raio
por
temos
O produto escalar é
Integrando de
a
obtemos
Resposta
(a)
(b)
(b)