Questão 9. Seja o campo vetorial \vec{F}(x, y)=\frac{-y \vec{i}+x \vec{j}}{x^{2}+y^{2}}. Mostre que:
(a) \oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}=2 \pi, para todo caminho fechado, simples, orientado no sentido anti-horário que circunde a origem sem passar por ela.
(b) \oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}=0, para todo caminho fechado, simples, que não passe pela origem nem a circunde.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y)=\frac{-y\,\vec{i}+x\,\vec{j}}{x^{2}+y^{2}}
definido em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\} e pede para calcular a integral de linha fechada \oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} em dois casos:
(a) C simples, positiva (anti-horário) e envolvendo a origem;
(b) C simples que não passa nem envolve a origem.
O conteúdo envolve rotação (curl) do campo, Teorema de Green e invariância sob deformações que não cruzem singularidades.

Passo 2

Vamos primeiro mostrar que a rotação de \vec{F} é zero em todo ponto onde está bem definida. Calculamos
\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\Bigr) =\frac{(x^{2}+y^{2})-2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\Bigr) =\frac{-(x^{2}+y^{2})+2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Logo, a componente escalar do curl em k é
\bigl(\nabla\times \vec{F}\bigr)_k =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\Bigr) -\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\Bigr) =0.

Passo 3

Se C não envolve a origem, então C é fronteira de uma região D\subset\mathbb{R}^2\setminus\{0\} simplesmente conexa onde \nabla\times\vec{F}=0. Pelo Teorema de Green,
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\iint_{D}(\nabla\times\vec{F})\,dA =0.
Isso prova o item (b).

Passo 4

Para um caminho C que envolve a origem, a região interna não é simplesmente conexa e não podemos usar Green direto. No entanto, toda curva fechada simples que envolve a origem pode ser deformada continuamente (sem cruzar o ponto singular) a um círculo de raio R centrado na origem, de orientação anti-horária. A integral é invariante sob essa deformação porque \nabla\times\vec{F}=0 no anel entre as curvas.

Passo 5

Parametrizando o círculo de raio R por
\vec{r}(t)=(R\cos t,\,R\sin t),\quad 0\le t\le2\pi,
temos
d\vec{r}=(-R\sin t,\,R\cos t)\,dt,\quad \vec{F}(\vec{r}(t)) =\frac{-R\sin t\,\vec{i}+R\cos t\,\vec{j}}{R^{2}} =\frac{-\sin t\,\vec{i}+\cos t\,\vec{j}}{R}.
O produto escalar é
\vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\cdot d\vec{r} =\frac{-\sin t\cdot(-R\sin t)+\cos t\cdot(R\cos t)}{R}\,dt =\frac{R(\sin^{2}t+\cos^{2}t)}{R}\,dt =dt.
Integrando de 0 a 2\pi obtemos
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\int_{0}^{2\pi}dt =2\pi.

Resposta

(a) \displaystyle 2\pi
(b) \displaystyle 0

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