Questão 3) Encontre (deduza) o campo rotacional ou vorticidade para \left(f_{x} \vec{i}+f_{y} \vec{j}+f_{z} \vec{k}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar (deduzir) o campo rotacional ou vorticidade do campo vetorial \left(f_{x}\vec{i}+f_{y}\vec{j}+f_{z}\vec{k}\right). As informações dadas são:
  • Existe uma função escalar f(x,y,z).
  • Os símbolos f_{x}, f_{y} e f_{z} representam as derivadas parciais de primeira ordem de f, ou seja f_{x}=\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}, f_{y}=\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}, f_{z}=\displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}.
  • Para poder trocar a ordem das derivadas parciais de segunda ordem (por exemplo f_{xy}=f_{yx}) vamos assumir que f tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas (condição usual de regularidade).

Passo 2

Vamos lembrar a definição operacional do rotacional (curl) de um campo vetorial. Se \vec{F} = F_x\vec{i}+F_y\vec{j}+F_z\vec{k}, então o rotacional é dado pela expressão determinantal:
\nabla\times \vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}
Aqui \partial_x significa o operador \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}, e de forma análoga \partial_y=\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}, \partial_z=\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}. Expandir esse determinante dá as componentes do rotacional:
\nabla\times \vec{F} = \bigl(\partial_y F_z - \partial_z F_y\bigr)\vec{i} + \bigl(\partial_z F_x - \partial_x F_z\bigr)\vec{j} + \bigl(\partial_x F_y - \partial_y F_x\bigr)\vec{k}.
Vou usar essa fórmula aplicando F_x=f_x, F_y=f_y, F_z=f_z.

Passo 3

Substituindo F_x=f_x, F_y=f_y, F_z=f_z na expressão das componentes, obtemos:
\nabla\times (f_x\vec{i}+f_y\vec{j}+f_z\vec{k}) = \bigl(\partial_y f_z - \partial_z f_y\bigr)\vec{i} + \bigl(\partial_z f_x - \partial_x f_z\bigr)\vec{j} + \bigl(\partial_x f_y - \partial_y f_x\bigr)\vec{k}.
Agora vou interpretar cada termo do tipo \partial_y f_z como derivada mista de f: \partial_y f_z = \displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\frac{\partial f}{\partial z}\bigr)=f_{zy}. De forma análoga:
\partial_z f_y = f_{yz},\quad \partial_z f_x = f_{xz},\quad \partial_x f_z = f_{zx},\quad \partial_x f_y = f_{xy},\quad \partial_y f_x = f_{yx}.

Passo 4

Reescrevendo as componentes do rotacional em notação de derivadas de segunda ordem:
\nabla\times (f_x\vec{i}+f_y\vec{j}+f_z\vec{k}) = \bigl(f_{zy}-f_{yz}\bigr)\vec{i} + \bigl(f_{xz}-f_{zx}\bigr)\vec{j} + \bigl(f_{xy}-f_{yx}\bigr)\vec{k}.

Passo 5

Agora aplicamos o teorema de igualdade das derivadas parciais mistas (teorema de Clairaut / Schwarz): se as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas, então as derivadas mistas comutam, isto é
f_{xy}=f_{yx},\quad f_{xz}=f_{zx},\quad f_{yz}=f_{zy}.
Portanto cada diferença nas componentes do rotacional é zero:
f_{zy}-f_{yz}=0,\quad f_{xz}-f_{zx}=0,\quad f_{xy}-f_{yx}=0.

Passo 6

Concluímos que todas as componentes do rotacional são zero, logo o rotacional (vorticidade) do campo dado é o vetor nulo. Intuitivamente: o campo \left(f_x,f_y,f_z\right) é exatamente o gradiente de f, e o rotacional de um gradiente é sempre zero sob as hipóteses de regularidade (derivadas segundas contínuas). Para fixar a ideia, um exemplo simples:
pega f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}. Então \nabla f = (2x,2y,2z). Calculando o rotacional pela fórmula vemos que cada componente é diferença de derivadas mistas iguais, dando zero. Isso confirma concretamente o resultado.

Resposta

\vec{0}

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