Questão 3) Encontre (deduza) o campo rotacional ou vorticidade para \left(f_{x} \vec{i}+f_{y} \vec{j}+f_{z} \vec{k}\right)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar (deduzir) o campo rotacional ou vorticidade do campo vetorial \left(f_{x}\vec{i}+f_{y}\vec{j}+f_{z}\vec{k}\right). As informações dadas são:
Existe uma função escalar f(x,y,z).
Os símbolos f_{x}, f_{y} e f_{z} representam as derivadas parciais de primeira ordem de f, ou seja f_{x}=\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}, f_{y}=\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}, f_{z}=\displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}.
Para poder trocar a ordem das derivadas parciais de segunda ordem (por exemplo f_{xy}=f_{yx}) vamos assumir que f tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas (condição usual de regularidade).
Passo 2
Vamos lembrar a definição operacional do rotacional (curl) de um campo vetorial. Se \vec{F} = F_x\vec{i}+F_y\vec{j}+F_z\vec{k}, então o rotacional é dado pela expressão determinantal:
Aqui \partial_x significa o operador \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}, e de forma análoga \partial_y=\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}, \partial_z=\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}. Expandir esse determinante dá as componentes do rotacional:
Agora vou interpretar cada termo do tipo \partial_y f_z como derivada mista de f: \partial_y f_z = \displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\frac{\partial f}{\partial z}\bigr)=f_{zy}. De forma análoga:
Agora aplicamos o teorema de igualdade das derivadas parciais mistas (teorema de Clairaut / Schwarz): se as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas, então as derivadas mistas comutam, isto é
Concluímos que todas as componentes do rotacional são zero, logo o rotacional (vorticidade) do campo dado é o vetor nulo. Intuitivamente: o campo \left(f_x,f_y,f_z\right) é exatamente o gradiente de f, e o rotacional de um gradiente é sempre zero sob as hipóteses de regularidade (derivadas segundas contínuas). Para fixar a ideia, um exemplo simples:
pega f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}. Então \nabla f = (2x,2y,2z). Calculando o rotacional pela fórmula vemos que cada componente é diferença de derivadas mistas iguais, dando zero. Isso confirma concretamente o resultado.