Questão 5: Nos itens a seguir, use o teorema da função implícita para obter as derivadas (parciais).
;
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular as derivadas parciais
e
quando a função
está definida implicitamente pela equação
Informações dadas (listadas claramente):
Aqui
e
são as variáveis independentes e
é uma função implícita de
e
, isto é,
. Não foram dados pontos numéricos; queremos expressões gerais para as derivadas parciais.
Passo 2
Ideia-chave (teorema usado) — versão prática e fórmula que você vai aplicar: seja
uma equação que define implicitamente
. Se
for diferenciável e
na região considerada, então existe localmente
e valem as fórmulas
onde
são as derivadas parciais de
tratando as outras variáveis como constantes. Explicando as notações:
calcula a taxa de variação de
em relação a
mantendo
e
fixos; idem para
e
. Essa fórmula vem de diferenciar
e isolar as derivadas de
.
Passo 3
Defino a função
a partir da equação dada (colocar tudo de um lado do igual):
Vou calcular
,
e
passo a passo, lembrando: ao calcular
e
tratamos
como constante (porque são derivadas parciais de
em relação a
ou
); ao calcular
tratamos
e
como constantes.
Passo 4
Cálculo de
(derivada parcial de
em relação a
, com
constantes).
- A derivada de
em relação a é (não depende de quando e são considerados constantes). - Para
, a dependência em vem só de ; é tratado como constante. Então a derivada é . - A derivada de
em relação a é .
Logo
Passo 5
Cálculo de
(derivada parcial de
em relação a
, com
constantes).
- Derivada de
em relação a : é constante, então fica . - Derivada de
em relação a : aqui é constante; usamos a regra da cadeia: -
. - Como
é tratado como constante, . - Logo
. - Multiplicando por
obtemos .
-
- Derivada de
em relação a é .
Somando,
Passo 6
Cálculo de
(derivada parcial de
em relação a
, com
constantes).
- Derivada de
em relação a : é constante, então fica . - Derivada de
em relação a : use a cadeia -
. - Como
é constante aqui, . - Então
- Multiplicando por
obtemos .
(atenção ao sinal: fazer a cadeia com calma evita errar o sinal)
-
- Derivada de
em relação a é .
Somando,
Passo 7
Agora aplico as fórmulas do teorema implícito:
Vou substituir os
que calculei.
Passo 8
Substituição e simplificação para
:
Passo 9
Substituição e simplificação para
:
Passo 10
Observação final prática (o que checar na prova): essas fórmulas só valem quando o denominador não é zero, ou seja, quando
Se você precisar do valor numérico das derivadas em um ponto específico
, primeiro determine
que satisfaz a equação implícita naquele ponto e então plugue
nas expressões acima.