Questão 5: Nos itens a seguir, use o teorema da função implícita para obter as derivadas (parciais).
\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}, \quad z^{3} y^{4}-x^{2} \cos (2 y-4 z)=4 z;

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} quando a função z está definida implicitamente pela equação
z^{3}y^{4}-x^{2}\cos(2y-4z)=4z.
Informações dadas (listadas claramente):
\text{Equação implícita: }z^{3}y^{4}-x^{2}\cos(2y-4z)=4z.çãí
Aqui x e y são as variáveis independentes e z é uma função implícita de x e y, isto é, z=z(x,y). Não foram dados pontos numéricos; queremos expressões gerais para as derivadas parciais.

Passo 2

Ideia-chave (teorema usado) — versão prática e fórmula que você vai aplicar: seja
F(x,y,z)=0
uma equação que define implicitamente z=z(x,y). Se F for diferenciável e \frac{\partial F}{\partial z}\neq0 na região considerada, então existe localmente z(x,y) e valem as fórmulas
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z},
onde F_x,F_y,F_z são as derivadas parciais de F tratando as outras variáveis como constantes. Explicando as notações: F_x=\frac{\partial F}{\partial x} calcula a taxa de variação de F em relação a x mantendo y e z fixos; idem para F_y e F_z. Essa fórmula vem de diferenciar F(x,y,z(x,y))\equiv0 e isolar as derivadas de z.

Passo 3

Defino a função F a partir da equação dada (colocar tudo de um lado do igual):
F(x,y,z)=z^{3}y^{4}-x^{2}\cos(2y-4z)-4z.
Vou calcular F_x, F_y e F_z passo a passo, lembrando: ao calcular F_x e F_y tratamos z como constante (porque são derivadas parciais de F em relação a x ou y); ao calcular F_z tratamos x e y como constantes.

Passo 4

Cálculo de F_x (derivada parcial de F em relação a x, com y,z constantes).
  • A derivada de z^{3}y^{4} em relação a x é 0 (não depende de x quando z e y são considerados constantes).
  • Para -x^{2}\cos(2y-4z), a dependência em x vem só de x^{2}; \cos(2y-4z) é tratado como constante. Então a derivada é -2x\cos(2y-4z).
  • A derivada de -4z em relação a x é 0.
    Logo
F_x=-2x\cos(2y-4z).

Passo 5

Cálculo de F_y (derivada parcial de F em relação a y, com x,z constantes).
  • Derivada de z^{3}y^{4} em relação a y: z^{3} é constante, então fica z^{3}\cdot 4y^{3}=4z^{3}y^{3}.
  • Derivada de -x^{2}\cos(2y-4z) em relação a y: aqui x^{2} é constante; usamos a regra da cadeia:
    • \frac{d}{dy}\cos(2y-4z) = -\sin(2y-4z)\cdot \frac{d}{dy}(2y-4z).
    • Como z é tratado como constante, \frac{d}{dy}(2y-4z)=2.
    • Logo \frac{d}{dy}\cos(2y-4z) = -2\sin(2y-4z).
    • Multiplicando por -x^{2} obtemos -x^{2}\cdot(-2\sin(2y-4z))=2x^{2}\sin(2y-4z).
  • Derivada de -4z em relação a y é 0.
    Somando,
F_y=4z^{3}y^{3}+2x^{2}\sin(2y-4z).

Passo 6

Cálculo de F_z (derivada parcial de F em relação a z, com x,y constantes).
  • Derivada de z^{3}y^{4} em relação a z: y^{4} é constante, então fica 3z^{2}y^{4}.
  • Derivada de -x^{2}\cos(2y-4z) em relação a z: use a cadeia
    • \frac{d}{dz}\cos(2y-4z) = -\sin(2y-4z)\cdot \frac{d}{dz}(2y-4z).
    • Como y é constante aqui, \frac{d}{dz}(2y-4z)=-4.
    • Então \frac{d}{dz}\cos(2y-4z) = -\sin(2y-4z)\cdot(-4)=4\sin(2y-4z).
    • Multiplicando por -x^{2} obtemos -x^{2}\cdot 4\sin(2y-4z)=-4x^{2}\sin(2y-4z).
      (atenção ao sinal: fazer a cadeia com calma evita errar o sinal)
  • Derivada de -4z em relação a z é -4.
    Somando,
F_z=3z^{2}y^{4}-4x^{2}\sin(2y-4z)-4.

Passo 7

Agora aplico as fórmulas do teorema implícito:
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}.
Vou substituir os F_x,F_y,F_z que calculei.

Passo 8

Substituição e simplificação para \frac{\partial z}{\partial x}:
\frac{\partial z}{\partial x} =-\frac{-2x\cos(2y-4z)}{\,3z^{2}y^{4}-4x^{2}\sin(2y-4z)-4\,} =\frac{2x\cos(2y-4z)}{\,3z^{2}y^{4}-4x^{2}\sin(2y-4z)-4\,}.

Passo 9

Substituição e simplificação para \frac{\partial z}{\partial y}:
\frac{\partial z}{\partial y} =-\frac{4z^{3}y^{3}+2x^{2}\sin(2y-4z)}{\,3z^{2}y^{4}-4x^{2}\sin(2y-4z)-4\,}.

Passo 10

Observação final prática (o que checar na prova): essas fórmulas só valem quando o denominador não é zero, ou seja, quando
3z^{2}y^{4}-4x^{2}\sin(2y-4z)-4\neq0.
Se você precisar do valor numérico das derivadas em um ponto específico (x_0,y_0), primeiro determine z_0 que satisfaz a equação implícita naquele ponto e então plugue (x_0,y_0,z_0) nas expressões acima.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{2x\cos(2y-4z)}{\,3z^{2}y^{4}-4x^{2}\sin(2y-4z)-4\,}
\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{4z^{3}y^{3}+2x^{2}\sin(2y-4z)}{\,3z^{2}y^{4}-4x^{2}\sin(2y-4z)-4\,}

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