Questão 8) Encontre uma formula para cada uma das seguintes integrais:
\int \ln ^{n} x \cdot \cos ^{m} x d x

Passo 1

O enunciado pede fórmulas de redução para as integrais \displaystyle \int (\ln x)^{n}\,dx
e \displaystyle \int \cos^{m}x\,dx.
Vamos usar integração por partes em cada caso para obter uma relação recursiva.

Passo 2

Para \displaystyle \int (\ln x)^{n}\,dx, tomamos \displaystyle u=(\ln x)^{n} e \displaystyle dv=dx.
Então \displaystyle du=n(\ln x)^{n-1}\,\frac{1}{x}\,dx
e \displaystyle v=x.
Aplicando integração por partes:
\int (\ln x)^{n}\,dx = x\,(\ln x)^{n} - \int x\cdot n(\ln x)^{n-1}\,\frac{1}{x}\,dx = x\,(\ln x)^{n} - n\int (\ln x)^{n-1}\,dx.

Passo 3

Para \displaystyle \int \cos^{m}x\,dx, escrevemos \displaystyle \int \cos^{m}x\,dx=\int \cos^{m-1}x\cdot\cos x\,dx
e escolhemos \displaystyle u=\cos^{m-1}x, \displaystyle dv=\cos x\,dx.
Então \displaystyle du=-(m-1)\cos^{m-2}x\sin x\,dx
e \displaystyle v=\sin x.
Pela integração por partes:
\int \cos^{m}x\,dx =\cos^{m-1}x\,\sin x - \int \sin x\bigl[-(m-1)\cos^{m-2}x\sin x\bigr]\,dx =\cos^{m-1}x\,\sin x +(m-1)\int \cos^{m-2}x\,\sin^{2}x\,dx.
Usando \sin^{2}x=1-\cos^{2}x:
\int \cos^{m}x\,dx =\cos^{m-1}x\,\sin x +(m-1)\int \cos^{m-2}x\,dx -(m-1)\int \cos^{m}x\,dx.
Reagrupando \displaystyle \int \cos^{m}x\,dx:
m\!\int \cos^{m}x\,dx =\cos^{m-1}x\,\sin x +(m-1)\int \cos^{m-2}x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \int \cos^{m}x\,dx =\frac{\cos^{m-1}x\,\sin x}{m} +\frac{m-1}{m}\int \cos^{m-2}x\,dx.

Resposta

Para a primeira integral:
\int (\ln x)^{n}\,dx = x\,(\ln x)^{n} - n\int (\ln x)^{n-1}\,dx + C.
Para a segunda integral:
\int \cos^{m}x\,dx =\frac{\cos^{m-1}x\,\sin x}{m} +\frac{m-1}{m}\int \cos^{m-2}x\,dx + C.

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