Questão 8) Encontre uma formula para cada uma das seguintes integrais:
\int e^{\omega x} \operatorname{sen} x d x :

Passo 1

O enunciado pede encontrar a primitiva de
\int e^{\omega x}\sin x\,dx.
Conteúdo: vamos usar integração por partes duas vezes, criando uma equação que nos permita resolver para a própria integral.

Passo 2

Defina
I = \int e^{\omega x}\sin x\,dx.
Aplicando integração por partes com u=\sin x e dv=e^{\omega x}dx, temos du=\cos x\,dx e v=e^{\omega x}/\omega. Logo,
I = \sin x\cdot\frac{e^{\omega x}}{\omega} \;-\;\int \frac{e^{\omega x}}{\omega}\cos x\,dx =\frac{e^{\omega x}\sin x}{\omega}-\frac{1}{\omega}\int e^{\omega x}\cos x\,dx.

Passo 3

Defina
J = \int e^{\omega x}\cos x\,dx.
Aplicando integração por partes com u=\cos x e dv=e^{\omega x}dx, obtemos du=-\sin x\,dx e v=e^{\omega x}/\omega, daí
J = \cos x\cdot\frac{e^{\omega x}}{\omega} - \int \frac{e^{\omega x}}{\omega}(-\sin x)\,dx =\frac{e^{\omega x}\cos x}{\omega}+\frac{1}{\omega}\int e^{\omega x}\sin x\,dx =\frac{e^{\omega x}\cos x}{\omega}+\frac{I}{\omega}.

Passo 4

Voltando a I=\frac{e^{\omega x}\sin x}{\omega}-\frac{1}{\omega}J e substituindo J, resulta
I = \frac{e^{\omega x}\sin x}{\omega} \;-\;\frac{1}{\omega}\Bigl(\frac{e^{\omega x}\cos x}{\omega}+\frac{I}{\omega}\Bigr) =\frac{e^{\omega x}\sin x}{\omega}-\frac{e^{\omega x}\cos x}{\omega^2}-\frac{I}{\omega^2}.
Reagrupando,
I\Bigl(1+\frac{1}{\omega^2}\Bigr) =e^{\omega x}\Bigl(\frac{\sin x}{\omega}-\frac{\cos x}{\omega^2}\Bigr),
como 1+\frac{1}{\omega^2}=\frac{\omega^2+1}{\omega^2}, obtemos
I =\frac{\omega^2}{\omega^2+1}\,e^{\omega x}\Bigl(\frac{\sin x}{\omega}-\frac{\cos x}{\omega^2}\Bigr) =\frac{e^{\omega x}}{\omega^2+1}\bigl(\omega\sin x-\cos x\bigr)+C.

Resposta

\int e^{\omega x}\sin x\,dx =\frac{e^{\omega x}}{\omega^2+1}\bigl(\omega\sin x-\cos x\bigr)+C.

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