1^{a} Questão : Encontre \frac{d y}{d x} diferenciando implicitamente.
y \operatorname{sen}\left(x^{2}\right)=x \operatorname{sen}\left(y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \dfrac{dy}{dx} diferenciando implicitamente a equação dada. A informação que temos é exatamente a igualdade
y\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)=x\operatorname{sen}\left(y^{2}\right).
Ou seja:
  • Temos uma equação que envolve x e y, e y depende de x (não foi dada uma fórmula explícita y(x)).
  • A tarefa é obter a derivada \dfrac{dy}{dx} a partir dessa relação, usando diferenciação implícita.

Passo 2

Vamos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a x. Antes de aplicar, recapitulemos duas regras fundamentais que vamos usar:
Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções de x, então
\frac{d}{dx}\big(u v\big)=u'\,v+u\,v'.
Regra da cadeia: se temos uma função composta f(g(x)), então
\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x).
No caso de f(t)=\operatorname{sen}(t), temos f'(t)=\cos(t). Logo
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}\big(u(x)\big)=\cos\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Além disso, toda vez que diferenciarmos uma ocorrência de y (que é função de x), devemos multiplicar por \dfrac{dy}{dx} (derivada implícita).

Passo 3

Agora aplicamos a diferenciação em cada membro:
Diferenciando o lado esquerdo \;y\operatorname{sen}(x^{2})\; (produto de y por \operatorname{sen}(x^2)):
  • Derivada de y é \dfrac{dy}{dx}, multiplicada por \operatorname{sen}(x^2): \dfrac{dy}{dx}\operatorname{sen}(x^2).
  • Mais y vezes a derivada de \operatorname{sen}(x^2). Pela regra da cadeia, \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}(x^2)=\cos(x^2)\cdot 2x. Então essa parte é y\cdot 2x\cos(x^2).
Portanto a derivada do lado esquerdo é
\frac{dy}{dx}\operatorname{sen}(x^2)+2x y \cos(x^2).

Passo 4

Diferenciando o lado direito \;x\operatorname{sen}(y^{2})\; (produto de x por \operatorname{sen}(y^2)):
  • Derivada de x é 1, multiplicada por \operatorname{sen}(y^2): \operatorname{sen}(y^2).
  • Mais x vezes a derivada de \operatorname{sen}(y^2). Pela regra da cadeia, \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}(y^2)=\cos(y^2)\cdot \dfrac{d}{dx}(y^2). E \dfrac{d}{dx}(y^2)=2y\cdot \dfrac{dy}{dx}. Então essa parte é x\cdot \cos(y^2)\cdot 2y\cdot \dfrac{dy}{dx}, ou seja 2x y \cos(y^2)\,\dfrac{dy}{dx}.
Portanto a derivada do lado direito é
\operatorname{sen}(y^2)+2x y \cos(y^2)\,\frac{dy}{dx}.

Passo 5

Igualando as derivadas do lado esquerdo e direito (porque derivamos uma igualdade), obtemos:
\frac{dy}{dx}\operatorname{sen}(x^2)+2x y \cos(x^2) = \operatorname{sen}(y^2)+2x y \cos(y^2)\,\frac{dy}{dx}.

Passo 6

Agora isolamos os termos que contêm \dfrac{dy}{dx} em um lado e os restantes no outro. Subtraímos 2x y \cos(y^2)\,\dfrac{dy}{dx} e subtraímos 2x y \cos(x^2) dos dois lados, ficando:
\frac{dy}{dx}\operatorname{sen}(x^2)-2x y \cos(y^2)\,\frac{dy}{dx} = \operatorname{sen}(y^2)-2x y \cos(x^2).

Passo 7

Fatoramos \dfrac{dy}{dx} no lado esquerdo:
\left(\operatorname{sen}(x^2)-2x y \cos(y^2)\right)\frac{dy}{dx} = \operatorname{sen}(y^2)-2x y \cos(x^2).

Passo 8

Finalmente isolamos \dfrac{dy}{dx} dividindo pelo fator entre parênteses (assumindo que ele não seja zero no ponto considerado):
\frac{dy}{dx} = \frac{\operatorname{sen}(y^2)-2x y \cos(x^2)} {\operatorname{sen}(x^2)-2x y \cos(y^2)}.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{\operatorname{sen}(y^2)-2x y \cos(x^2)}{\operatorname{sen}(x^2)-2x y \cos(y^2)}

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