Questão : Encontre
diferenciando implicitamente.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
diferenciando implicitamente a equação dada. A informação que temos é exatamente a igualdade
Ou seja:
- Temos uma equação que envolve
e , e depende de (não foi dada uma fórmula explícita ). - A tarefa é obter a derivada
a partir dessa relação, usando diferenciação implícita.
Passo 2
Vamos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a
. Antes de aplicar, recapitulemos duas regras fundamentais que vamos usar:
Regra do produto: se
e
são funções de
, então
Regra da cadeia: se temos uma função composta
, então
No caso de
, temos
. Logo
Além disso, toda vez que diferenciarmos uma ocorrência de
(que é função de
), devemos multiplicar por
(derivada implícita).
Passo 3
Agora aplicamos a diferenciação em cada membro:
Diferenciando o lado esquerdo
(produto de
por
):
- Derivada de
é , multiplicada por : . - Mais
vezes a derivada de . Pela regra da cadeia, . Então essa parte é .
Portanto a derivada do lado esquerdo é
Passo 4
Diferenciando o lado direito
(produto de
por
):
- Derivada de
é , multiplicada por : . - Mais
vezes a derivada de . Pela regra da cadeia, . E . Então essa parte é , ou seja .
Portanto a derivada do lado direito é
Passo 5
Igualando as derivadas do lado esquerdo e direito (porque derivamos uma igualdade), obtemos:
Passo 6
Agora isolamos os termos que contêm
em um lado e os restantes no outro. Subtraímos
e subtraímos
dos dois lados, ficando:
Passo 7
Fatoramos
no lado esquerdo:
Passo 8
Finalmente isolamos
dividindo pelo fator entre parênteses (assumindo que ele não seja zero no ponto considerado):