Questão 9: Encontre a matriz das seguintes transformações lineares:
S(x, y, z)=(y-z, z-x) relativa as bases canônicas.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear S:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 definida por
S(x,y,z)=(y-z,\;z-x).
Pede-se: encontrar a matriz de S relativa às bases canônicas (ou seja, base padrão de \mathbb{R}^3 e de \mathbb{R}^2).
Informações relevantes fornecidas:
  • A regra de S aplicada a um vetor (x,y,z) está explícita.
  • As bases são as canônicas (vetores padrão) — não foi pedido mudar de base.

Passo 2

O que significa “matriz relativa às bases canônicas”?
Uma transformação linear S tem matriz A tal que, para todo vetor v\in\mathbb{R}^3,
[S(v)]_{\text{can}} = A\,[v]_{\text{can}},
onde [v]_{\text{can}} é o vetor de coordenadas de v na base canônica. Para a base canônica a construção prática é: calcular S aplicado aos vetores da base canônica de \mathbb{R}^3 e colocar essas imagens como colunas da matriz (na mesma ordem).

Passo 3

Os vetores da base canônica de \mathbb{R}^3 são
e_1=(1,0,0),\qquad e_2=(0,1,0),\qquad e_3=(0,0,1).
Vamos calcular S(e_1), S(e_2) e S(e_3).

Passo 4

Calcular S(e_1). Substituindo (x,y,z)=(1,0,0) na definição:
y-z = 0-0 = 0,\qquad z-x = 0-1 = -1.
Portanto
S(e_1)=(0,-1).

Passo 5

Calcular S(e_2). Substituindo (x,y,z)=(0,1,0):
y-z = 1-0 = 1,\qquad z-x = 0-0 = 0.
Portanto
S(e_2)=(1,0).

Passo 6

Calcular S(e_3). Substituindo (x,y,z)=(0,0,1):
y-z = 0-1 = -1,\qquad z-x = 1-0 = 1.
Portanto
S(e_3)=(-1,1).

Passo 7

Formar a matriz de S colocando as imagens S(e_1),S(e_2),S(e_3) como colunas, na ordem e_1,e_2,e_3. Assim obtemos a matriz A\in\mathbb{R}^{2\times3}:
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\[4pt] -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas útil para provar que está correto): para um vetor genérico (x,y,z),
A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = x\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} + z\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y-z\\[4pt]z-x\end{pmatrix},
que coincide com S(x,y,z). Perfeito — a matriz está correta. Você conseguiu!]

Resposta

\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\[4pt] -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}]

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