Questão 9: Encontre a matriz das seguintes transformações lineares: S(x, y, z)=(y-z, z-x) relativa as bases canônicas.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear S:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 definida por
S(x,y,z)=(y-z,\;z-x).
Pede-se: encontrar a matriz de S relativa às bases canônicas (ou seja, base padrão de \mathbb{R}^3 e de \mathbb{R}^2).
Informações relevantes fornecidas:
A regra de S aplicada a um vetor (x,y,z) está explícita.
As bases são as canônicas (vetores padrão) — não foi pedido mudar de base.
Passo 2
O que significa “matriz relativa às bases canônicas”?
Uma transformação linear S tem matriz A tal que, para todo vetor v\in\mathbb{R}^3,
[S(v)]_{\text{can}} = A\,[v]_{\text{can}},
onde [v]_{\text{can}} é o vetor de coordenadas de v na base canônica. Para a base canônica a construção prática é: calcular S aplicado aos vetores da base canônica de \mathbb{R}^3 e colocar essas imagens como colunas da matriz (na mesma ordem).