Questão 4: Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma transformação linear assim definida na base canônica T(1,0,0)=(2,3,1), T(0,1,0)=(5,2,7) e T(0,0,1)=(-2,0,7). Determine T(x, y, z), onde (x, y, z) é um vetor genérico de \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 e informa as imagens dos vetores da base canônica:
  • T(1,0,0)=(2,3,1).
  • T(0,1,0)=(5,2,7).
  • T(0,0,1)=(-2,0,7).
O que nos é pedido: determinar T(x,y,z) para um vetor genérico (x,y,z)\in\mathbb{R}^3. Aqui (x,y,z) são números reais quaisquer dados no enunciado.

Passo 2

Primeiro passo técnico: escrever o vetor genérico (x,y,z) como combinação linear dos vetores da base canônica. Na base canônica \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} vale a identidade
(x,y,z)=x\,(1,0,0)+y\,(0,1,0)+z\,(0,0,1).
Explicando devagar: isso significa que qualquer vetor em \mathbb{R}^3 pode ser obtido multiplicando cada vetor da base pelo seu respectivo coeficiente (aqui x,y,z) e somando.

Passo 3

Agora uso a propriedade fundamental de uma transformação linear: para quaisquer vetores u,v e escalares a,b vale
T(a u + b v)=a\,T(u)+b\,T(v).
Aplicando essa propriedade repetidamente ao caso de três termos, obtemos
T(x,y,z)=T\big(x\,(1,0,0)+y\,(0,1,0)+z\,(0,0,1)\big)=x\,T(1,0,0)+y\,T(0,1,0)+z\,T(0,0,1).
Aqui cada letra: x,y,z são escalares (coordenadas do vetor), e T(1,0,0),T(0,1,0),T(0,0,1) são os vetores que o enunciado forneceu.

Passo 4

Substituo as imagens fornecidas pelo enunciado na expressão do passo anterior:
T(x,y,z)=x\,(2,3,1)+y\,(5,2,7)+z\,(-2,0,7).
Agora calculo as multiplicações escalares componente a componente:
  • x\,(2,3,1)=(2x,3x,x).
  • y\,(5,2,7)=(5y,2y,7y).
  • z\,(-2,0,7)=(-2z,0,7z).

Passo 5

Somando as três contribuições componente a componente obtenho:
T(x,y,z)=(2x+5y-2z,\;3x+2y+0z,\;x+7y+7z).
Posso simplificar removendo o +0z na segunda componente:
T(x,y,z)=(2x+5y-2z,\;3x+2y,\;x+7y+7z).
Isso já é a expressão pedida: cada componente da imagem é uma combinação linear das coordenadas x,y,z.

Passo 6

Interpretação matricial (útil na hora da prova): a matriz de T na base canônica tem como colunas as imagens dos vetores da base:
A=\begin{pmatrix}2 & 5 & -2\\[4pt] 3 & 2 & 0\\[4pt] 1 & 7 & 7\end{pmatrix}.
Então, em notação de produto matricial,
T(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix}.
Isso é coerente com o que calculamos componente a componente.]

Passo 7

Exemplo rápido para fixar (opcional para a prova): se (x,y,z)=(1,2,3), então
T(1,2,3)=(2\cdot1+5\cdot2-2\cdot3,\;3\cdot1+2\cdot2,\;1\cdot1+7\cdot2+7\cdot3)=(2+10-6,\;3+4,\;1+14+21)=(6,7,36).
Isso mostra como usar a fórmula na prática e conferir cálculos rápidos sem erro.

Resposta

\,T(x,y,z)=(2x+5y-2z,\;3x+2y,\;x+7y+7z)

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