Questão 4: Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma transformação linear assim definida na base canônica T(1,0,0)=(2,3,1), T(0,1,0)=(5,2,7) e T(0,0,1)=(-2,0,7). Determine T(x, y, z), onde (x, y, z) é um vetor genérico de \mathbb{R}^{3}.
Passo 1
O enunciado nos dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 e informa as imagens dos vetores da base canônica:
T(1,0,0)=(2,3,1).
T(0,1,0)=(5,2,7).
T(0,0,1)=(-2,0,7).
O que nos é pedido: determinar T(x,y,z) para um vetor genérico (x,y,z)\in\mathbb{R}^3. Aqui (x,y,z) são números reais quaisquer dados no enunciado.
Passo 2
Primeiro passo técnico: escrever o vetor genérico (x,y,z) como combinação linear dos vetores da base canônica. Na base canônica \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} vale a identidade
(x,y,z)=x\,(1,0,0)+y\,(0,1,0)+z\,(0,0,1).
Explicando devagar: isso significa que qualquer vetor em \mathbb{R}^3 pode ser obtido multiplicando cada vetor da base pelo seu respectivo coeficiente (aqui x,y,z) e somando.
Passo 3
Agora uso a propriedade fundamental de uma transformação linear: para quaisquer vetores u,v e escalares a,b vale
T(a u + b v)=a\,T(u)+b\,T(v).
Aplicando essa propriedade repetidamente ao caso de três termos, obtemos