Questão 2. Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio e o intervalo de convergência. f(x)=\frac{x^{2}+x}{(1-x)^{3}}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função f(x)=\dfrac{x^{2}+x}{(1-x)^{3}}:
Encontrar uma representação em série de potências centrada em 0 (isto é, escrever f como \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n).
Determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série.
Informações dadas e observações imediatas:
A função está escrita em termos de potências de 1-x no denominador, o que sugere relacionar com a série geométrica \dfrac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n} válida para |x|<1.
Há uma singularidade na função quando x=1 (denominador zero), o que já indica que a série de potências centrada em 0 terá raio de convergência no máximo 1.
Passo 2
Lembrar e entender a série geométrica básica e como diferenciá-la term a term:
Aqui a condição |x|<1 vem porque a soma infinita converge só nesse intervalo.
Se diferenciarmos ambos os lados termo a termo (válido dentro do raio de convergência), obtemos uma série para \dfrac{1}{(1-x)^{2}}. Vou mostrar isso passo a passo porque é uma técnica muito útil.
Passo 3
Diferenciando a série geométrica termo a termo:
Diferenciando \dfrac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n} em relação a x, o lado esquerdo dá
onde a segunda forma apenas observa que o termo n=0 é zero.
Essa identidade é também uma forma conhecida de gerar a sequência n^{2} por série.
Passo 8
Determinar o raio de convergência R:
Pode-se usar o teste da razão ou observar que a série veio da série geométrica por diferenciações e multiplicações por polinômios, operações que preservam o raio de convergência. A série geométrica tem raio 1, logo a série resultante também tem raio R=1.
Determinar o intervalo de convergência (verificar pontas):
Para x=1: a série torna-se \sum_{n=1}^{\infty} n^{2}, que diverge (os termos não vão a zero e a soma é infinita). Logo não converge em x=1.
Para x=-1: a série torna-se \sum_{n=1}^{\infty} n^{2}(-1)^{n}. Mesmo sendo alternada, os termos em módulo são n^{2} que não tendem a zero, então a série diverge (condição necessária para convergência falha). Logo não converge em x=-1.
Portanto o intervalo de convergência é o intervalo aberto (-1,1).
Resposta
\displaystyle \frac{x^{2}+x}{(1-x)^{3}}=\sum_{n=0}^{\infty} n^{2}x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty} n^{2}x^{n}\n
Raio de convergência: R=1\n
Intervalo de convergência: (-1,1)