Questão 2. Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio e o intervalo de convergência.
f(x)=\frac{x^{2}+x}{(1-x)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f(x)=\dfrac{x^{2}+x}{(1-x)^{3}}:
  • Encontrar uma representação em série de potências centrada em 0 (isto é, escrever f como \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n).
  • Determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função está escrita em termos de potências de 1-x no denominador, o que sugere relacionar com a série geométrica \dfrac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n} válida para |x|<1.
  • Há uma singularidade na função quando x=1 (denominador zero), o que já indica que a série de potências centrada em 0 terá raio de convergência no máximo 1.

Passo 2

Lembrar e entender a série geométrica básica e como diferenciá-la term a term:
  • A série geométrica é
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n},\qquad\text{para }|x|<1.
Aqui a condição |x|<1 vem porque a soma infinita converge só nesse intervalo.
  • Se diferenciarmos ambos os lados termo a termo (válido dentro do raio de convergência), obtemos uma série para \dfrac{1}{(1-x)^{2}}. Vou mostrar isso passo a passo porque é uma técnica muito útil.

Passo 3

Diferenciando a série geométrica termo a termo:
  • Diferenciando \dfrac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n} em relação a x, o lado esquerdo dá
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right)=\frac{1}{(1-x)^{2}},
e o lado direito, diferenciando cada termo \,x^{n}, dá \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}.
  • Reescrevendo a soma com potências x^{n} (deslocando índice), obtemos a forma padrão:
\frac{1}{(1-x)^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{n},\qquad\text{para }|x|<1.
Explicando: ao deslocar o índice, \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}=\sum_{m=0}^{\infty} (m+1)x^{m} com m=n-1.

Passo 4

Diferenciando novamente para obter \dfrac{1}{(1-x)^{3}}:
  • Diferenciando \dfrac{1}{(1-x)^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{n} termo a termo:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{(1-x)^{2}}\right)=\frac{2}{(1-x)^{3}},
e
\frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} n(n+1)x^{n-1}.
  • Rearranjando para escrever \dfrac{1}{(1-x)^{3}} isoladamente:
\frac{1}{(1-x)^{3}}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} n(n+1)x^{n-1}.
  • Em termos de potências x^{n} (deslocando índice m=n-1):
\frac{1}{(1-x)^{3}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n+2}{2} x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)(n+2)}{2}\,x^{n},\qquad\text{para }|x|<1.
Observação didática: \binom{n+2}{2}=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2} aparece naturalmente ao diferenciar sucessivamente a série geométrica.

Passo 5

Agora multiplicar pela parte do numerador (x^{2}+x):
  • Escrevendo \dfrac{1}{(1-x)^{3}}=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^{n} com a_n=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}, temos
f(x)=\frac{x^{2}+x}{(1-x)^{3}}=(x+x^{2})\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^{n}.
  • Desenvolvendo o produto em duas somas:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^{n+1}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^{n+2}.
  • Agora vamos juntar tudo em uma única soma do tipo \sum_{m=0}^{\infty} c_m x^{m}. Para cada expoente m:
    • A primeira soma contribui com a_{m-1} para m\ge 1.
    • A segunda soma contribui com a_{m-2} para m\ge 2.
    • Para m=0 não há contribuição (coeficiente zero).
  • Assim, para m\ge 2,
c_m = a_{m-1}+a_{m-2}.
E c_0=0, c_1=a_0.

Passo 6

Calcular explicitamente c_m e simplificar:
  • Lembrando a_k=\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}, temos para m\ge 2:
a_{m-1}=\frac{m(m+1)}{2},\qquad a_{m-2}=\frac{(m-1)m}{2}.
  • Somando:
c_m = \frac{m(m+1)}{2}+\frac{(m-1)m}{2}=\frac{2m^{2}}{2}=m^{2}.
  • Verificando os casos baixos: c_0=0=0^{2}, c_1=a_0=\binom{2}{2}=1=1^{2}. Portanto a fórmula vale para m\ge 0.

Passo 7

Escrever a série de potências final e comentar:
  • Consequentemente
\frac{x^{2}+x}{(1-x)^{3}}=\sum_{n=0}^{\infty} n^{2} x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n},
onde a segunda forma apenas observa que o termo n=0 é zero.
  • Essa identidade é também uma forma conhecida de gerar a sequência n^{2} por série.

Passo 8

Determinar o raio de convergência R:
  • Pode-se usar o teste da razão ou observar que a série veio da série geométrica por diferenciações e multiplicações por polinômios, operações que preservam o raio de convergência. A série geométrica tem raio 1, logo a série resultante também tem raio R=1.
  • Para confirmar pelo teste da razão com c_n=n^{2}:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}=1,
portanto o raio R=\dfrac{1}{1}=1.

Passo 9

Determinar o intervalo de convergência (verificar pontas):
  • Para x=1: a série torna-se \sum_{n=1}^{\infty} n^{2}, que diverge (os termos não vão a zero e a soma é infinita). Logo não converge em x=1.
  • Para x=-1: a série torna-se \sum_{n=1}^{\infty} n^{2}(-1)^{n}. Mesmo sendo alternada, os termos em módulo são n^{2} que não tendem a zero, então a série diverge (condição necessária para convergência falha). Logo não converge em x=-1.
  • Portanto o intervalo de convergência é o intervalo aberto (-1,1).

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}+x}{(1-x)^{3}}=\sum_{n=0}^{\infty} n^{2}x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty} n^{2}x^{n}\n
Raio de convergência: R=1\n
Intervalo de convergência: (-1,1)

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