Questão 1. Encontre o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências: { }^{*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n+1}}{n!(n+1)!2^{2 n+1}}
existe e L(x)<1, a série converge; se L(x)>1, diverge; se L(x)=1, o teste é inconclusivo.
Para séries de potências normalmente a condição L(x)<1 fornece a região |x|<R; calculando o limite em função de |x| obtemos o raio R como o valor onde passa a não valer mais L(x)<1.
Vou calcular explicitamente \left|\dfrac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right| e então o limite quando n\to\infty.
Passo 3
Cálculo do quociente \left|\dfrac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right|. Parto do termo geral
para todo x fixo (qualquer x\in\mathbb{R} ou x\in\mathbb{C}). Como L(x)=0<1 para todo x, pelo Teste da Razão a série converge para qualquer x.
Passo 5
Conclusão sobre raio e intervalo de convergência, com interpretação didática:
O fato de a razão tender a 0 para todo x significa que não há limite finito de |x| além do qual a série diverge; ela converge para qualquer valor real de x. Portanto o raio de convergência é infinito.
Em termos formais, o raio de convergência é R=\infty e o intervalo de convergência no real é (-\infty,\infty).
Observação alternativa rápida (opcional, para aprendizado): escrevendo a série como
temos uma série em \displaystyle t=\frac{x^2}{4} cujos coeficientes em módulo são \dfrac{1}{n!(n+1)!}; aplicando o teste da razão a essa série em t obtém-se também raio infinito em t, implicando convergência para todo t e, consequentemente, para todo x.