Questão 1. Encontre o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
{ }^{*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n+1}}{n!(n+1)!2^{2 n+1}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n+1}}{n!(n+1)!2^{2 n+1}}.
O que é pedido:
  • Encontrar o raio de convergência R desta série de potências;
  • Determinar o intervalo de convergência (no eixo real) correspondente.
Informações relevantes dadas:
  • O termo geral da série é \displaystyle u_n(x)=\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n!(n+1)!2^{2n+1}}.
  • Note que só aparecem potências ímpares de x ( x^{2n+1}), mas isso não impede achar o raio de convergência em x.

Passo 2

Estratégia escolhida e justificativa didática (sem ainda calcular):
  • Uma maneira direta é aplicar o Teste da Razão (ratio test) aos termos u_n(x) para um x fixo. Se
L(x):=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right|
existe e L(x)<1, a série converge; se L(x)>1, diverge; se L(x)=1, o teste é inconclusivo.
  • Para séries de potências normalmente a condição L(x)<1 fornece a região |x|<R; calculando o limite em função de |x| obtemos o raio R como o valor onde passa a não valer mais L(x)<1.
  • Vou calcular explicitamente \left|\dfrac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right| e então o limite quando n\to\infty.

Passo 3

Cálculo do quociente \left|\dfrac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right|. Parto do termo geral
u_n(x)=\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n!(n+1)!2^{2n+1}}.
Então
u_{n+1}(x)=\frac{(-1)^{n+1} x^{2(n+1)+1}}{(n+1)!(n+2)!2^{2(n+1)+1}} =\frac{(-1)^{n+1} x^{2n+3}}{(n+1)!(n+2)!2^{2n+3}}.
Agora o módulo do quociente é
\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right| =\frac{|x|^{2n+3}}{(n+1)!(n+2)!2^{2n+3}}\cdot\frac{n!(n+1)!2^{2n+1}}{|x|^{2n+1}}.
Simplificando potências de |x|, fatores 2^{\cdot} e fatoriais, obtemos
\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right| =|x|^{2}\cdot\frac{n!(n+1)!}{(n+1)!(n+2)!}\cdot\frac{1}{2^{2}} =|x|^{2}\cdot\frac{n!}{(n+2)!}\cdot\frac{1}{4}.
Usando (n+2)!=(n+2)(n+1)n! dá-se
\frac{n!}{(n+2)!}=\frac{1}{(n+2)(n+1)}.
Portanto
\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right| =\frac{|x|^{2}}{4}\cdot\frac{1}{(n+2)(n+1)}.

Passo 4

Calcular o limite do quociente quando n\to\infty. Observa-se que (n+2)(n+1) cresce como n^2, então
L(x)=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{2}}{4}\cdot\frac{1}{(n+2)(n+1)}=0,
para todo x fixo (qualquer x\in\mathbb{R} ou x\in\mathbb{C}). Como L(x)=0<1 para todo x, pelo Teste da Razão a série converge para qualquer x.

Passo 5

Conclusão sobre raio e intervalo de convergência, com interpretação didática:
  • O fato de a razão tender a 0 para todo x significa que não há limite finito de |x| além do qual a série diverge; ela converge para qualquer valor real de x. Portanto o raio de convergência é infinito.
  • Em termos formais, o raio de convergência é R=\infty e o intervalo de convergência no real é (-\infty,\infty).
Observação alternativa rápida (opcional, para aprendizado): escrevendo a série como
\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n!(n+1)!2^{2n+1}}=\frac{x}{2}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!(n+1)!}\left(\frac{x^2}{4}\right)^n,
temos uma série em \displaystyle t=\frac{x^2}{4} cujos coeficientes em módulo são \dfrac{1}{n!(n+1)!}; aplicando o teste da razão a essa série em t obtém-se também raio infinito em t, implicando convergência para todo t e, consequentemente, para todo x.

Resposta

Raio de convergência: R=\infty
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty)

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