Questão 3. Encontre a série de Maclaurin da função f(x)=x^{2} \operatorname{sen}\left(x^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a série de Maclaurin da função f(x)=x^{2}\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr).
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{2}\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr).
  • “Série de Maclaurin” significa a série de Taylor centrada em 0: desenvolver a função como uma soma de potências de x ao redor de x=0.
O que precisamos entregar: uma expressão em forma de série (fórmula fechada com somatório) e, para ajudar na compreensão, alguns termos iniciais dessa série.

Passo 2

O que é série de Maclaurin e por que usar isso aqui.
Definição (explicada com calma): a série de Maclaurin de uma função g(x) é a expansão em potências de x ao redor de 0. Formalmente,
g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{g^{(n)}(0)}{n!}\,x^{n},
onde g^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de g avaliada em 0. Na prática, para funções usuais (ex.: \operatorname{sen}, \cos, e^{x}) existe uma expansão conhecida e que converge para todo x, então em vez de calcular muitas derivadas, usamos essas séries prontas e substituímos variáveis quando necessário. Isso é bem mais rápido na prova.

Passo 3

Série conhecida que vamos usar (a chamada série de Taylor/Maclaurin para \operatorname{sen}).
A série de Maclaurin de \operatorname{sen} u em torno de u=0 é
\operatorname{sen} u=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{u^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Explicando essa fórmula:
  • u é a variável da série aqui (pode ser x, x^2, etc.).
  • O termo geral tem potência 2k+1 porque \operatorname{sen} é uma função ímpar: só aparecem potências ímpares.
  • O sinal alterna com (-1)^k porque as derivadas de \operatorname{sen} repetem um ciclo e geram sinais alternados.
  • (2k+1)! vem da divisão por n! na série de Taylor padrão.
    Essa série converge para todo u (ou seja, raio de convergência infinito).

Passo 4

Substituir u=x^{2} na série de \operatorname{sen} u.
Tomando u=x^{2} na série acima, obtemos
\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{(x^{2})^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Agora simplificamos a potência:
(x^{2})^{2k+1}=x^{4k+2}.
Portanto
\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{4k+2}}{(2k+1)!}.

Passo 5

Multiplicar por x^{2} (porque f(x)=x^{2}\operatorname{sen}(x^{2})).
Multiplicando termo a termo por x^{2},
f(x)=x^{2}\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)=x^{2}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{4k+2}}{(2k+1)!}.
Somando os expoentes de x:
x^{2}\cdot x^{4k+2}=x^{4k+4}.
Logo a série fica
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{4k+4}}{(2k+1)!}.

Passo 6

Escrever explicitamente os primeiros termos para ver o padrão e entender como usar a série na prova.
Substituindo k=0,1,2,\dots na fórmula:
  • Para k=0: termo é (-1)^{0}\dfrac{x^{4}}{1!}=x^{4}.
  • Para k=1: termo é (-1)^{1}\dfrac{x^{8}}{3!}=-\dfrac{x^{8}}{3!}.
  • Para k=2: termo é (-1)^{2}\dfrac{x^{12}}{5!}=+\dfrac{x^{12}}{5!}.
    Assim,
f(x)=x^{4}-\frac{x^{8}}{3!}+\frac{x^{12}}{5!}-\frac{x^{16}}{7!}+\cdots
Esse desenvolvimento é útil na prova para obter aproximações próximas de 0: basta truncar a série nos primeiros termos e estimar o erro pelo termo seguinte (o que costuma ser pequeno para |x| pequeno). A série tem raio de convergência infinito porque vem da série de \operatorname{sen}.

Resposta

f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{4k+4}}{(2k+1)!}=x^{4}-\frac{x^{8}}{3!}+\frac{x^{12}}{5!}-\frac{x^{16}}{7!}+\cdots

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