Questão 3. Encontre a série de Maclaurin da função
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a série de Maclaurin da função
.
Informações dadas:
- A função é
. - “Série de Maclaurin” significa a série de Taylor centrada em
: desenvolver a função como uma soma de potências de ao redor de .
O que precisamos entregar: uma expressão em forma de série (fórmula fechada com somatório) e, para ajudar na compreensão, alguns termos iniciais dessa série.
Passo 2
O que é série de Maclaurin e por que usar isso aqui.
Definição (explicada com calma): a série de Maclaurin de uma função
é a expansão em potências de
ao redor de
. Formalmente,
onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
. Na prática, para funções usuais (ex.:
,
,
) existe uma expansão conhecida e que converge para todo
, então em vez de calcular muitas derivadas, usamos essas séries prontas e substituímos variáveis quando necessário. Isso é bem mais rápido na prova.
Passo 3
Série conhecida que vamos usar (a chamada série de Taylor/Maclaurin para
).
A série de Maclaurin de
em torno de
é
Explicando essa fórmula:
-
é a variável da série aqui (pode ser , , etc.). - O termo geral tem potência
porque é uma função ímpar: só aparecem potências ímpares. - O sinal alterna com
porque as derivadas de repetem um ciclo e geram sinais alternados. -
vem da divisão por na série de Taylor padrão.
Essa série converge para todo(ou seja, raio de convergência infinito).
Passo 4
Substituir
na série de
.
Tomando
na série acima, obtemos
Agora simplificamos a potência:
Portanto
Passo 5
Multiplicar por
(porque
).
Multiplicando termo a termo por
,
Somando os expoentes de
:
Logo a série fica
Passo 6
Escrever explicitamente os primeiros termos para ver o padrão e entender como usar a série na prova.
Substituindo
na fórmula:
- Para
: termo é . - Para
: termo é . - Para
: termo é .
Assim,
Esse desenvolvimento é útil na prova para obter aproximações próximas de
: basta truncar a série nos primeiros termos e estimar o erro pelo termo seguinte (o que costuma ser pequeno para
pequeno). A série tem raio de convergência infinito porque vem da série de
.