Determine se a série é convergente ou divergente:
(d) \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n}}{(2 n+1)!}\\

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n}}{(2n+1)!}
é convergente ou divergente. Informações dadas e observações imediatas:
  • O termo geral é \displaystyle a_n=\frac{(-3)^{n}}{(2n+1)!}.
  • A soma começa em n=1 e vai até +\infty.
  • O denominador contém um fatorial (2n+1)!, que costuma crescer muito rápido.
  • O numerador tem potência exponencial (-3)^n = (-1)^n 3^n, que alterna sinal e cresce como 3^n.

Passo 2

Escolha do método e conceito importante (explicado com calma).
  • Quando o termo geral envolve fatoriais e potências, o Teste da Razão (ratio test) é uma escolha padrão e eficiente. Vou usar ele para testar a convergência do somatório dos valores absolutos dos termos — isto é, vou testar a convergência de \sum_{n=1}^\infty |a_n|. Se \sum |a_n| converge, dizemos que a série original converge absolutamente; convergência absoluta implica convergência.
  • O Teste da Razão (forma prática): para uma sequência positiva b_n>0, calcule
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}.
Se L<1, então \sum b_n converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.
  • Aqui vou aplicar o teste à sequência positiva b_n=|a_n|=\dfrac{3^{n}}{(2n+1)!}.

Passo 3

Calcular a razão \dfrac{b_{n+1}}{b_n} e simplificar passo a passo.
  • Primeiro escrevo b_n e b_{n+1}:
b_n=\frac{3^{n}}{(2n+1)!},\qquad b_{n+1}=\frac{3^{\,n+1}}{(2(n+1)+1)!}=\frac{3^{\,n+1}}{(2n+3)!}.
  • Agora a razão:
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3^{n+1}}{(2n+3)!}\cdot\frac{(2n+1)!}{3^{n}}.
  • Cancelando 3^{n} e usando (2n+3)!=(2n+3)(2n+2)(2n+1)!, obtemos
\frac{b_{n+1}}{b_n} = 3\cdot\frac{(2n+1)!}{(2n+3)(2n+2)(2n+1)!} = \frac{3}{(2n+2)(2n+3)}.

Passo 4

Tomar o limite quando n\to\infty e concluir pelo Teste da Razão.
  • Calculo o limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{3}{(2n+2)(2n+3)} = 0.
  • Como 0<1, o Teste da Razão garante que \sum_{n=1}^\infty b_n=\sum_{n=1}^\infty |a_n| converge.
  • Logo a série original \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-3)^{n}}{(2n+1)!} converge absolutamente. E, por consequência, converge.

Resposta

Converge absolutamente, portanto converge.

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