Determine se a série é convergente ou divergente:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Informações dadas e observações imediatas:
- O termo geral é
. - A soma começa em
e vai até . - O denominador contém um fatorial
, que costuma crescer muito rápido. - O numerador tem potência exponencial
, que alterna sinal e cresce como .
Passo 2
Escolha do método e conceito importante (explicado com calma).
- Quando o termo geral envolve fatoriais e potências, o Teste da Razão (ratio test) é uma escolha padrão e eficiente. Vou usar ele para testar a convergência do somatório dos valores absolutos dos termos — isto é, vou testar a convergência de
. Se converge, dizemos que a série original converge absolutamente; convergência absoluta implica convergência. - O Teste da Razão (forma prática): para uma sequência positiva
, calcule
Se
, então
converge absolutamente; se
, diverge; se
, o teste é inconclusivo.
- Aqui vou aplicar o teste à sequência positiva
.
Passo 3
Calcular a razão
e simplificar passo a passo.
- Primeiro escrevo
e :
- Agora a razão:
- Cancelando
e usando , obtemos
Passo 4
Tomar o limite quando
e concluir pelo Teste da Razão.
- Calculo o limite:
- Como
, o Teste da Razão garante que converge. - Logo a série original
converge absolutamente. E, por consequência, converge.
Resposta
Converge absolutamente, portanto converge.