Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
:
- Encontrar uma representação em série de potências (ou seja, escrever
como uma soma da forma ). - Determinar o intervalo de convergência dessa série.
Informação dada: a função é
. Nada mais foi fornecido; vamos usar conhecimentos básicos sobre séries de potências (série geométrica, diferenciação termo a termo, teste do termo).
Passo 2
Lembra da série geométrica? Ela é a ferramenta mais simples aqui. A série geométrica diz que, para
,
Explicando isso rapidinho: somando os primeiros
termos temos
. Se
, então
quando
, e o limite da soma parcial é
. Aqui cada variável significa:
-
é a variável da função (o que vai entrar na série), -
é o índice da soma (vai de até infinito), - a condição
garante que a série geométrica converge.
Passo 3
Queremos
. Uma forma natural é derivar a identidade da série geométrica em relação a
. Primeiro escrevo a identidade:
Agora diferencio ambos os lados em relação a
. Justificativa rápida e intuitiva: uma série de potências converge uniformemente em qualquer intervalo fechado contido em
, então pode-se derivar termo a termo dentro do raio de convergência. Derivando:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada termo a termo de
é .
Portanto, para
,
Passo 4
A série do passo anterior pode ser reindexada para a forma padrão
. Observe que o termo com
na soma
é zero (porque
). Mudo o índice: seja
, então
e quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
Renomeando
de volta para
(nome de índice é irrelevante), obtemos a forma mais comum:
Para ver que isso faz sentido, escrevendo os primeiros termos:
Passo 5
Agora o intervalo de convergência. Dois pontos importantes:
- A série geométrica
tem raio de convergência , ou seja, converge para e diverge para . - Diferenciação termo a termo preserva o raio de convergência (mas pode alterar o comportamento nos extremos). Logo a série que encontramos tem raio
, isto é, converge pelo menos para . Precisamos verificar os extremos e .
Teste em
: substituindo em
obtemos a série dos inteiros:
cuja sequência de termos
não tende a zero; pelo teste do termo a termo, a série diverge. Além disso,
tem polo em
, então não poderia convergir.
Teste em
: substituindo,
Também aqui os termos
não tendem a zero em módulo (o módulo é
), portanto a série diverge pelo teste do termo. Logo não há convergência em
.
Conclusão: a série converge exatamente para
, isto é, no intervalo
.
Passo 6
Resumo alternativo (uma outra visão útil para prova): pela fórmula do binômio generalizado para expoentes inteiros negativos,
com raio de convergência
. Isso coincide com o resultado acima e às vezes ajuda a memorizar a forma dos coeficientes.
Resposta
Intervalo de convergência: