Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
(b) f(x)=\frac{1}{(1-x)^{2}}\\

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f(x)=\dfrac{1}{(1-x)^{2}}:
  • Encontrar uma representação em série de potências (ou seja, escrever f(x) como uma soma da forma \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n).
  • Determinar o intervalo de convergência dessa série.
Informação dada: a função é f(x)=\dfrac{1}{(1-x)^{2}}. Nada mais foi fornecido; vamos usar conhecimentos básicos sobre séries de potências (série geométrica, diferenciação termo a termo, teste do termo).

Passo 2

Lembra da série geométrica? Ela é a ferramenta mais simples aqui. A série geométrica diz que, para |x|<1,
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}.
Explicando isso rapidinho: somando os primeiros N+1 termos temos \sum_{n=0}^{N}x^{n}=\dfrac{1-x^{N+1}}{1-x}. Se |x|<1, então x^{N+1}\to0 quando N\to\infty, e o limite da soma parcial é \dfrac{1}{1-x}. Aqui cada variável significa:
  • x é a variável da função (o que vai entrar na série),
  • n é o índice da soma (vai de 0 até infinito),
  • a condição |x|<1 garante que a série geométrica converge.

Passo 3

Queremos \dfrac{1}{(1-x)^{2}}. Uma forma natural é derivar a identidade da série geométrica em relação a x. Primeiro escrevo a identidade:
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}.
Agora diferencio ambos os lados em relação a x. Justificativa rápida e intuitiva: uma série de potências converge uniformemente em qualquer intervalo fechado contido em (-1,1), então pode-se derivar termo a termo dentro do raio de convergência. Derivando:
  • A derivada de \dfrac{1}{1-x} em relação a x é \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{1-x}\right)=\dfrac{1}{(1-x)^{2}}.
  • A derivada termo a termo de \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} é \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{d}{dx}x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} n x^{n-1}.
Portanto, para |x|<1,
\frac{1}{(1-x)^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} n x^{n-1}.

Passo 4

A série do passo anterior pode ser reindexada para a forma padrão \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n. Observe que o termo com n=0 na soma \sum_{n=0}^{\infty} n x^{n-1} é zero (porque 0\cdot x^{-1}=0). Mudo o índice: seja k=n-1, então n=k+1 e quando n vai de 1 a \infty, k vai de 0 a \infty. Assim
\sum_{n=0}^{\infty} n x^{n-1}=\sum_{k=0}^{\infty} (k+1) x^{k}.
Renomeando k de volta para n (nome de índice é irrelevante), obtemos a forma mais comum:
\frac{1}{(1-x)^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)\,x^{n},\qquad \text{para }|x|<1.
Para ver que isso faz sentido, escrevendo os primeiros termos:
\frac{1}{(1-x)^{2}}=(1)+2x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots.

Passo 5

Agora o intervalo de convergência. Dois pontos importantes:
  1. A série geométrica \sum_{n=0}^{\infty}x^{n} tem raio de convergência 1, ou seja, converge para |x|<1 e diverge para |x|>1.
  2. Diferenciação termo a termo preserva o raio de convergência (mas pode alterar o comportamento nos extremos). Logo a série que encontramos tem raio 1, isto é, converge pelo menos para |x|<1. Precisamos verificar os extremos x=1 e x=-1.
Teste em x=1: substituindo em \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) x^{n} obtemos a série dos inteiros:
\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)\cdot 1^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1),
cuja sequência de termos (n+1) não tende a zero; pelo teste do termo a termo, a série diverge. Além disso, f(x) tem polo em x=1, então não poderia convergir.
Teste em x=-1: substituindo,
\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)(-1)^{n}.
Também aqui os termos (n+1)(-1)^{n} não tendem a zero em módulo (o módulo é n+1\to\infty), portanto a série diverge pelo teste do termo. Logo não há convergência em x=-1.
Conclusão: a série converge exatamente para |x|<1, isto é, no intervalo (-1,1).

Passo 6

Resumo alternativo (uma outra visão útil para prova): pela fórmula do binômio generalizado para expoentes inteiros negativos,
(1-x)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+1}{1} x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^{n},
com raio de convergência 1. Isso coincide com o resultado acima e às vezes ajuda a memorizar a forma dos coeficientes.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{(1-x)^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)\,x^{n}
Intervalo de convergência: (-1,1)

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