Questão 1. Encontre a solução das equações a diferenças abaixo usando Transformada Z unilateral.
\left\{\begin{array}{l}u_{n+3}-u_{n+2}-u_{n+1}+u_{n}=0 \\\ u_{0}=0, u_{1}=1, u_{2}=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução da sequência definida pela recorrência
\left\{\begin{array}{l} u_{n+3}-u_{n+2}-u_{n+1}+u_{n}=0,\\[4pt] u_{0}=0,\; u_{1}=1,\; u_{2}=2, \end{array}\right.
usando a Transformada \mathcal{Z} unilateral. As informações dadas são portanto:
\;u_{n+3}-u_{n+2}-u_{n+1}+u_{n}=0 para n\ge0 e as condições iniciais \;u_{0}=0,\;u_{1}=1,\;u_{2}=2.]

Passo 2

Definição e propriedades que vamos usar (explicadas devagar):
\mathcal{Z}\{u_n\}=U(z)=\sum_{n=0}^{\infty}u_n z^{-n}.
Propriedade de deslocamento (shift) para a transformada unilateral: para inteiro m\ge1,
\mathcal{Z}\{u_{n+m}\}=z^{m}U(z)-z^{m-1}u_0-z^{m-2}u_1-\cdots -u_{m-1}.
Vou mostrar rapidamente para m=1 e daí o padrão fica claro. Partimos de
\mathcal{Z}\{u_{n+1}\}=\sum_{n=0}^\infty u_{n+1}z^{-n}.
fazendo a mudança de índice k=n+1 obtemos
\mathcal{Z}\{u_{n+1}\}=z\sum_{k=1}^\infty u_k z^{-k}=z\bigg(\sum_{k=0}^\infty u_k z^{-k}-u_0\bigg)=z(U(z)-u_0).
Isso dá a fórmula para m=1. Para m=2 e m=3 o raciocínio é o mesmo e resulta em
\mathcal{Z}\{u_{n+2}\}=z^{2}U(z)-z^{2}u_0-z u_1,
\mathcal{Z}\{u_{n+3}\}=z^{3}U(z)-z^{3}u_0-z^{2}u_1-z u_2.

Passo 3

Aplicamos \mathcal{Z} na recorrência. Tomando transformada de cada termo e usando as fórmulas acima:
\mathcal{Z}\{u_{n+3}\}-\mathcal{Z}\{u_{n+2}\}-\mathcal{Z}\{u_{n+1}\}+\mathcal{Z}\{u_n\}=0.
Substituindo:
\big(z^{3}U(z)-z^{3}u_0-z^{2}u_1-z u_2\big) -\big(z^{2}U(z)-z^{2}u_0-z u_1\big) -\big(z U(z)-z u_0\big) +U(z)=0.
Agora usamos as condições iniciais \;u_0=0,\;u_1=1,\;u_2=2 e simplificamos os termos constantes (os que não multiplicam U(z)). Primeiro, os coeficientes de U(z):
z^{3}-z^{2}-z+1
multiplicando U(z). Os termos vindos das condições iniciais ficam (substituindo u_0,u_1,u_2):
-(z^{2}\cdot 1)- (z\cdot 2) \;+\; z\cdot 1 \;=\; -z^2-2z+z = -z^2-z.
Portanto a equação fica
\big(z^{3}-z^{2}-z+1\big)U(z)-\big(z^2+z\big)=0,
ou seja
\big(z^{3}-z^{2}-z+1\big)U(z)=z^2+z.

Passo 4

Agora resolvemos para U(z). Note que o numerador pode fatorar e o denominador também:
z^2+z=z(z+1),
z^{3}-z^{2}-z+1=(z-1)^2(z+1),
pois (z-1)^2(z+1)=(z^2-2z+1)(z+1)=z^3-z^2-z+1. Assim
U(z)=\frac{z(z+1)}{(z-1)^2(z+1)}=\frac{z}{(z-1)^2},
onde cancelamos o fator (z+1) (atenção: essa simplificação é algébrica; a região de convergência pode excluir z=-1, mas para a inversão que faremos o resultado final em sequências está correto).

Passo 5

Inversão da transformada para obter u_n. Vamos reconhecer a transformada encontrada. Há um par transformado conhecido (ou podemos derivar por séries): para |x|<1 vale
\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}.
Diferenciando em x e multiplicando por x obtemos
\sum_{n=0}^\infty n x^{n}=\frac{x}{(1-x)^2}.
Tomando x=z^{-1} (ou seja expandindo em potências de z^{-1}) dá
\sum_{n=0}^\infty n z^{-n}=\frac{z}{(z-1)^2}.
Portanto a transformada U(z)=\dfrac{z}{(z-1)^2} corresponde à sequência
u_n=n\quad\text{para }n\ge0.
Como verificação rápida: u_0=0,\;u_1=1,\;u_2=2 – bate com as condições iniciais – e substituindo na recorrência temos
(n+3)-(n+2)-(n+1)+n=0,
logo a recorrência é satisfeita.

Resposta

u_n=n,\quad n\ge0

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