Questão 1. Encontre a solução das equações a diferenças abaixo usando Transformada
unilateral.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução da sequência definida pela recorrência
usando a Transformada
unilateral. As informações dadas são portanto:
para
e as condições iniciais
]
Passo 2
Definição e propriedades que vamos usar (explicadas devagar):
Propriedade de deslocamento (shift) para a transformada unilateral: para inteiro
,
Vou mostrar rapidamente para
e daí o padrão fica claro. Partimos de
fazendo a mudança de índice
obtemos
Isso dá a fórmula para
. Para
e
o raciocínio é o mesmo e resulta em
Passo 3
Aplicamos
na recorrência. Tomando transformada de cada termo e usando as fórmulas acima:
Substituindo:
Agora usamos as condições iniciais
e simplificamos os termos constantes (os que não multiplicam
). Primeiro, os coeficientes de
:
multiplicando
. Os termos vindos das condições iniciais ficam (substituindo
):
Portanto a equação fica
ou seja
Passo 4
Agora resolvemos para
. Note que o numerador pode fatorar e o denominador também:
pois
. Assim
onde cancelamos o fator
(atenção: essa simplificação é algébrica; a região de convergência pode excluir
, mas para a inversão que faremos o resultado final em sequências está correto).
Passo 5
Inversão da transformada para obter
. Vamos reconhecer a transformada encontrada. Há um par transformado conhecido (ou podemos derivar por séries): para
vale
Diferenciando em
e multiplicando por
obtemos
Tomando
(ou seja expandindo em potências de
) dá
Portanto a transformada
corresponde à sequência
Como verificação rápida:
– bate com as condições iniciais – e substituindo na recorrência temos
logo a recorrência é satisfeita.