Questão 1. Encontre a solução das equações a diferenças abaixo usando Transformada Z unilateral.
\left\{\begin{array}{l}y_{n+2}-4 y_{n}=2^{n} \\\ y_{0}=0, y_{1}=1\end{array} \quad\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação às diferenças com condições iniciais usando a Transformada Z\) unilateral. Pergunta explícita: encontrar a sequência \((y_n)_{n\ge0}\) que satisfaz \[\begin{cases} y_{n+2}-4y_n=2^n,\\[4pt] y_0=0,\; y_1=1. \end{cases}
Informações relevantes dadas:
  • A equação de recorrência é linear, não homogênea, com termo forçante 2^n\]. - Condições iniciais: \(y_0=0 e y_1=1.
    A partir daqui vamos aplicar a Transformada Z unilateral e inverter para obter y_n.]

Passo 2

Definições e propriedades necessárias (explicadas de forma direta):
  • Definição unilateral da Transformada Z de uma sequência (y_n):
Y(z)=\mathcal{Z}\{y_n\}=\sum_{n=0}^{\infty} y_n z^{-n}.
  • Propriedade de deslocamento (caso geral): para k\ge1,
\mathcal{Z}\{y_{n+k}\}=z^k Y(z)-z^k y_0-z^{k-1}y_1-\cdots - z\,y_{k-1}.
No caso k=2 que precisamos,
\mathcal{Z}\{y_{n+2}\}=z^2 Y(z)-z^2 y_0 - z y_1.
  • Transformada de uma sequência geométrica: para a constante,
\mathcal{Z}\{a^n\}=\frac{z}{z-a}.
  • Transformada de n a^n: podemos usar a fórmula
\mathcal{Z}\{n a^n\}=\frac{a z}{(z-a)^2}.
Essas fórmulas serão usadas para inverter termos que aparecerem em Y(z).

Passo 3

Aplicamos \mathcal{Z} à equação y_{n+2}-4y_n=2^n. Usando a propriedade de deslocamento para y_{n+2} e a linearidade,
\mathcal{Z}\{y_{n+2}\}-4\mathcal{Z}\{y_n\}=\mathcal{Z}\{2^n\}.
Substituindo as expressões:
\big(z^2 Y(z)-z^2 y_0 - z y_1\big)-4Y(z)=\frac{z}{z-2}.
Agora inserimos as condições iniciais y_0=0, y_1=1:
z^2 Y(z)-z -4Y(z)=\frac{z}{z-2}.
Isolando Y(z):
Y(z)\big(z^2-4\big)=\frac{z}{z-2}+z.
Colocando em forma única:
Y(z)=\frac{z}{z-2}\cdot\frac{1}{z^2-4} + \frac{z}{z^2-4} =\frac{z(z-1)}{(z-2)(z^2-4)}.
Fatorando z^2-4=(z-2)(z+2) obtemos
Y(z)=\frac{z(z-1)}{(z-2)^2(z+2)}.

Passo 4

Fazemos decomposição parcial em termos das formas que nos permitem inverter facilmente (queremos termos do tipo \dfrac{z}{z-a} e \dfrac{z}{(z-a)^2}). Procuremos constantes \alpha,\beta,\gamma tais que
Y(z)=\alpha\,\frac{z}{z-2}+\beta\,\frac{z}{(z-2)^2}+\gamma\,\frac{z}{z+2}.
Como todos os termos têm fator z no numerador, podemos dividir por z (identidade polinomial válida) e igualar:
z-1=\alpha (z-2)(z+2)+\beta (z+2)+\gamma (z-2)^2.
Expandindo e coletando coeficientes obtemos um sistema linear para \alpha,\beta,\gamma. Resolvendo (detalhes algébricos: igualando coeficientes de z^2,z,1) encontramos
\alpha=\frac{3}{16},\qquad \beta=\frac{1}{4},\qquad \gamma=-\frac{3}{16}.
Portanto
Y(z)=\frac{3}{16}\,\frac{z}{z-2}+\frac{1}{4}\,\frac{z}{(z-2)^2}-\frac{3}{16}\,\frac{z}{z+2}.

Passo 5

Agora invertendo termo a termo usando as fórmulas que anotamos:
  • \mathcal{Z}^{-1}\!\left\{\dfrac{z}{z-2}\right\}=2^n.
  • Para o segundo termo: note que \mathcal{Z}\{n 2^n\}=\dfrac{2z}{(z-2)^2}. Assim
\mathcal{Z}^{-1}\!\left\{\frac{z}{(z-2)^2}\right\}=n2^{n-1},
porque \dfrac{z}{(z-2)^2}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2z}{(z-2)^2} e \dfrac{2z}{(z-2)^2} corresponde a n2^n. Logo \dfrac{z}{(z-2)^2} corresponde a n2^{n-1}.
  • \mathcal{Z}^{-1}\!\left\{\dfrac{z}{z+2}\right\}=(-2)^n.
Aplicando isso a cada parcela de Y(z):
y_n=\frac{3}{16}\,2^n + \frac{1}{4}\,n2^{\,n-1} - \frac{3}{16}\,(-2)^n.
Simplificando o termo do meio: \dfrac{1}{4}\,n2^{n-1}=\dfrac{1}{8}\,n2^n. Então
y_n=2^n\left(\frac{3}{16}+\frac{n}{8}\right)-\frac{3}{16}(-2)^n = \frac{2^n(3+2n)}{16}-\frac{3(-2)^n}{16}.
Podemos checar rapidamente n=0 e n=1: para n=0 obtemos 0; para n=1 obtemos 1, compatível com as condições iniciais.

Resposta

y_n=\frac{2^n(3+2n)}{16}-\frac{3(-2)^n}{16}.

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