Questão 1. Encontre a solução das equações a diferenças abaixo usando Transformada
unilateral.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação às diferenças com condições iniciais usando a Transformada
Informações relevantes dadas:
- A equação de recorrência é linear, não homogênea, com termo forçante
e
.
A partir daqui vamos aplicar a Transformadaunilateral e inverter para obter .]
Passo 2
Definições e propriedades necessárias (explicadas de forma direta):
- Definição unilateral da Transformada
de uma sequência :
- Propriedade de deslocamento (caso geral): para
,
No caso
que precisamos,
- Transformada de uma sequência geométrica: para
constante,
- Transformada de
: podemos usar a fórmula
Essas fórmulas serão usadas para inverter termos que aparecerem em
.
Passo 3
Aplicamos
à equação
. Usando a propriedade de deslocamento para
e a linearidade,
Substituindo as expressões:
Agora inserimos as condições iniciais
,
:
Isolando
:
Colocando em forma única:
Fatorando
obtemos
Passo 4
Fazemos decomposição parcial em termos das formas que nos permitem inverter facilmente (queremos termos do tipo
e
). Procuremos constantes
tais que
Como todos os termos têm fator
no numerador, podemos dividir por
(identidade polinomial válida) e igualar:
Expandindo e coletando coeficientes obtemos um sistema linear para
. Resolvendo (detalhes algébricos: igualando coeficientes de
) encontramos
Portanto
Passo 5
Agora invertendo termo a termo usando as fórmulas que anotamos:
-
- Para o segundo termo: note que
. Assim
porque
e
corresponde a
. Logo
corresponde a
.
Aplicando isso a cada parcela de
:
Simplificando o termo do meio:
. Então
Podemos checar rapidamente
e
: para
obtemos
; para
obtemos
, compatível com as condições iniciais.