Questão 1. Encontre a solução das equações a diferenças abaixo usando Transformada Z unilateral.
\left\{\begin{array}{l}y_{n+2}+3 y_{n+1}+2 y_{n}=3^{n} \\\ y_{0}=1, y_{1}=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação a diferenças
\left\{\begin{array}{l} y_{n+2}+3y_{n+1}+2y_{n}=3^{n},\\[4pt] y_{0}=1,\;y_{1}=0, \end{array}\right.
usando a Transformada Z unilateral. Informações relevantes dadas:
\text{recorrência: }y_{n+2}+3y_{n+1}+2y_{n}=3^{n},ê
\text{condições iniciais: }y_{0}=1,\;y_{1}=0.çõ
Nada mais é pedido além de encontrar a sequência \{y_n\}_{n\ge0}.]

Passo 2

Vou definir a Transformada Z unilateral e apresentar as propriedades que vou usar. Definição:
Y(z)=\mathcal{Z}\{y_n\}=\sum_{n=0}^{\infty} y_n z^{-n}.
Propriedades de deslocamento (muito importantes):
\mathcal{Z}\{y_{n+1}\}=zY(z)-y_0,
\mathcal{Z}\{y_{n+2}\}=z^2Y(z)-z y_0 - y_1.
Aqui Y(z) é a transformada da sequência y_n e y_0,y_1 são as condições iniciais que aparecem nas fórmulas acima.

Passo 3

Aplico a transformada Z aos dois lados da recorrência. Para os termos do lado esquerdo usamos as fórmulas do passo anterior:
\mathcal{Z}\{y_{n+2}\}=z^2Y(z)-z y_0 - y_1,
\mathcal{Z}\{3y_{n+1}\}=3\big(zY(z)-y_0\big),
\mathcal{Z}\{2y_n\}=2Y(z).
Somando esses termos obtém-se a transformada do lado esquerdo.

Passo 4

Transformo o lado direito 3^{n}. É uma série geométrica:
\mathcal{Z}\{3^{n}\}=\sum_{n=0}^{\infty}3^{n}z^{-n}=\frac{1}{1-3z^{-1}}=\frac{z}{z-3},
válido para |z|>3. Agora substituo tudo na igualdade transformada.

Passo 5

Substituindo y_0=1 e y_1=0 e as transformadas, obtemos:
\big(z^2Y(z)-z\cdot 1 - 0\big)+3\big(zY(z)-1\big)+2Y(z)=\frac{z}{z-3}.
Agrupando os termos com Y(z) e os termos independentes:
\big(z^2+3z+2\big)Y(z)-(z+3)=\frac{z}{z-3}.
Isolando Y(z):
Y(z)=\frac{\dfrac{z}{z-3}+(z+3)}{z^2+3z+2}.
Fazendo o somador em numerador sobre um denominador comum (z-3):
Y(z)=\frac{z^2+z-9}{(z-3)(z^2+3z+2)}.
E fatorando z^2+3z+2=(z+1)(z+2):
Y(z)=\frac{z^2+z-9}{(z-3)(z+1)(z+2)}.

Passo 6

Agora precisamos inverter Y(z) para obter y_n. Em vez de fazer uma decomposição técnica longa no domínio z, vejo que a equação recorrente é linear com coeficientes constantes, então é didático e rápido usar o método das soluções homogênea + particular (que é compatível com o resultado do Z-domain). Vou explicar esse método passo a passo (é exatamente o que a transformada Z reflete).
  1. Equação característica da homogênea associada (quando o lado direito é zero):
r^{2}+3r+2=0.
Resolvo a quadrática:
r^{2}+3r+2=(r+1)(r+2)=0 \implies r=-1,\\\ -2.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_n^{(h)}=A(-1)^n+B(-2)^n,
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.
  1. Procuro uma solução particular para o termo não-homogêneo 3^{n}. Como o termo forçante é 3^{n} e 3 não é raiz da equação característica (as raízes são -1 e -2), tento uma solução particular da forma
y_n^{(p)}=K\cdot 3^{n},
onde K é constante. Substituo na recorrência:
K\cdot 3^{n+2}+3K\cdot 3^{n+1}+2K\cdot 3^{n}=3^{n}.
Fatorando 3^{n}:
3^{n}\big(K\cdot 3^{2}+3K\cdot 3+2K\big)=3^{n}.
Ou seja
K(9+9+2)=K\cdot 20=1 \implies K=\frac{1}{20}.
Então
y_n^{(p)}=\frac{1}{20}3^{n}.

Passo 7

A solução geral da recorrência (soma da homogênea com a particular) é
y_n=\frac{1}{20}3^{n}+A(-1)^n+B(-2)^n,
com A,B a determinar a partir de y_0 e y_1.

Passo 8

Uso as condições iniciais para achar A e B.
Para n=0:
y_0=1=\frac{1}{20}\cdot 3^{0}+A(-1)^0+B(-2)^0=\frac{1}{20}+A+B.
Logo
A+B=1-\frac{1}{20}=\frac{19}{20}.
Para n=1:
y_1=0=\frac{1}{20}\cdot 3^{1}+A(-1)^1+B(-2)^1=\frac{3}{20}-A-2B.
Rearranjando:
-A-2B=-\frac{3}{20}\quad\Longrightarrow\quad A+2B=\frac{3}{20}.
Agora resolvo o sistema
\begin{cases} A+B=\dfrac{19}{20},\\[6pt] A+2B=\dfrac{3}{20}. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(A+2B)-(A+B)=B=\frac{3}{20}-\frac{19}{20}=-\frac{16}{20}=-\frac{4}{5}.
Então
B=-\frac{4}{5}.
E
A=\frac{19}{20}-B=\frac{19}{20}+\frac{4}{5}=\frac{19}{20}+\frac{16}{20}=\frac{35}{20}=\frac{7}{4}.]

Passo 9

Substituo A e B na forma geral. Obtenho a solução explícita:
y_n=\frac{1}{20}3^{n}+\frac{7}{4}(-1)^n-\frac{4}{5}(-2)^n.
Faço uma checagem rápida dos dois primeiros termos para ter certeza: para n=0,
y_0=\frac{1}{20}+\frac{7}{4}-\frac{4}{5}=\frac{1+35-16}{20}= \frac{20}{20}=1,
para n=1,
y_1=\frac{3}{20}-\frac{7}{4}+\frac{8}{5}=\frac{3-35+32}{20}=0,
conferido com as condições iniciais.

Resposta

y_n=\frac{1}{20}3^{n}+\frac{7}{4}(-1)^n-\frac{4}{5}(-2)^n.

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