Questão 1. Encontre a solução das equações a diferenças abaixo usando Transformada Z unilateral. \left\{\begin{array}{l}y_{n+2}+3 y_{n+1}+2 y_{n}=3^{n} \\\ y_{0}=1, y_{1}=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação a diferenças
Agrupando os termos com Y(z) e os termos independentes:
\big(z^2+3z+2\big)Y(z)-(z+3)=\frac{z}{z-3}.
Isolando Y(z):
Y(z)=\frac{\dfrac{z}{z-3}+(z+3)}{z^2+3z+2}.
Fazendo o somador em numerador sobre um denominador comum (z-3):
Y(z)=\frac{z^2+z-9}{(z-3)(z^2+3z+2)}.
E fatorando z^2+3z+2=(z+1)(z+2):
Y(z)=\frac{z^2+z-9}{(z-3)(z+1)(z+2)}.
Passo 6
Agora precisamos inverter Y(z) para obter y_n. Em vez de fazer uma decomposição técnica longa no domínio z, vejo que a equação recorrente é linear com coeficientes constantes, então é didático e rápido usar o método das soluções homogênea + particular (que é compatível com o resultado do Z-domain). Vou explicar esse método passo a passo (é exatamente o que a transformada Z reflete).
Equação característica da homogênea associada (quando o lado direito é zero):
r^{2}+3r+2=0.
Resolvo a quadrática:
r^{2}+3r+2=(r+1)(r+2)=0 \implies r=-1,\\\ -2.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_n^{(h)}=A(-1)^n+B(-2)^n,
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Procuro uma solução particular para o termo não-homogêneo 3^{n}. Como o termo forçante é 3^{n} e 3 não é raiz da equação característica (as raízes são -1 e -2), tento uma solução particular da forma