Questão 3 Encontre a solução geral da EDO não-homogênea
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da EDO não-homogênea
Informações fornecidas:
;A equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes é dada explicitamente.
;O termo não-homogêneo (forçamento) é
.
Pergunta a responder: qual é a solução geral dessa equação, ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma particular que satisfaça a EDO não-homogênea?
Pergunta a responder: qual é a solução geral
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
Para isso usamos a equação característica associada às constantes:
Vamos resolver essa equação algébrica para
.
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
logo há uma raiz real dupla
Explicação didática: quando a equação característica tem uma raiz real dupla
de multiplicidade 2, as duas soluções independentes da homogênea são
e
.
Passo 4
Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias (constantes de integração). Aqui
e
formam uma base de soluções independentes.
Passo 5
Agora buscamos uma solução particular
da equação não-homogênea
Explicação do método usado: vamos aplicar o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients). A ideia é propor uma forma para
semelhante ao lado direito. O lado direito é
, isto é um exponencial
com
.
Regra importante (ressonância): se
é solução da homogênea, precisamos multiplicar a tentativa por
, onde
é a multiplicidade da raiz
na equação característica. Aqui
é raiz de multiplicidade
. Portanto multiplicamos por
.
Passo 6
Como
é constante vezes
(polinômio de grau
vezes
), a tentativa para
será
onde
é uma constante a determinar. (Explicação: multiplicamos
por
devido à multiplicidade 2; se o forçamento tivesse um polinômio de grau
multiplicando
, a forma seria
vezes um polinômio de grau
vezes
.)
Passo 7
Calculamos
e
passo a passo (sempre escrevendo os fatores exponenciais para facilitar a simplificação).
Começando com
Derivando uma vez (produto de
por
):
Derivando novamente:
Aplicando a regra do produto:
Então
Simplificando dentro do colchete:
Portanto
Passo 8
Agora montamos a combinação
:
Vamos simplificar o conteúdo entre parênteses passo a passo:
Agrupando termos similares:
- termos em
: , - termos em
: , - termos constantes:
.
Logo o resultado é simplesmente
. Assim
Passo 9
Devemos igualar essa combinação ao lado direito da EDO, que é
. Portanto
Dividindo por
(que não é zero), obtemos
Assim a solução particular encontrada é
Passo 10
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
Podemos fatorar
se quisermos uma forma mais compacta: