Questão 3 Encontre a solução geral da EDO não-homogênea
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=2 e^{-t}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da EDO não-homogênea
y'' + 2y' + y = 2 e^{-t}.
Informações fornecidas:
\;1.;A equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes é dada explicitamente.
\;2.;O termo não-homogêneo (forçamento) é 2 e^{-t}.
Pergunta a responder: qual é a solução geral y(t) dessa equação, ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma particular que satisfaça a EDO não-homogênea?

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
y'' + 2y' + y = 0.
Para isso usamos a equação característica associada às constantes:
r^2 + 2r + 1 = 0.
Vamos resolver essa equação algébrica para r.

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
r^2 + 2r + 1 = (r+1)^2 = 0,
logo há uma raiz real dupla
r = -1 \quad\text{(multiplicidade 2).}
Explicação didática: quando a equação característica tem uma raiz real dupla r_0 de multiplicidade 2, as duas soluções independentes da homogênea são e^{r_0 t} e t e^{r_0 t}.

Passo 4

Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(t) = C_1 e^{-t} + C_2 t e^{-t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (constantes de integração). Aqui e^{-t} e t e^{-t} formam uma base de soluções independentes.

Passo 5

Agora buscamos uma solução particular y_p(t) da equação não-homogênea
y'' + 2y' + y = 2 e^{-t}.
Explicação do método usado: vamos aplicar o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients). A ideia é propor uma forma para y_p semelhante ao lado direito. O lado direito é 2 e^{-t}, isto é um exponencial e^{\alpha t} com \alpha = -1.
Regra importante (ressonância): se e^{\alpha t} é solução da homogênea, precisamos multiplicar a tentativa por t^m, onde m é a multiplicidade da raiz \alpha na equação característica. Aqui \alpha=-1 é raiz de multiplicidade m=2. Portanto multiplicamos por t^2.

Passo 6

Como 2 e^{-t} é constante vezes e^{-t} (polinômio de grau 0 vezes e^{-t}), a tentativa para y_p será
y_p(t) = A t^2 e^{-t},
onde A é uma constante a determinar. (Explicação: multiplicamos e^{-t} por t^2 devido à multiplicidade 2; se o forçamento tivesse um polinômio de grau n multiplicando e^{\alpha t}, a forma seria t^m vezes um polinômio de grau n vezes e^{\alpha t}.)

Passo 7

Calculamos y_p' e y_p'' passo a passo (sempre escrevendo os fatores exponenciais para facilitar a simplificação).
Começando com
y_p(t) = A t^2 e^{-t}.
Derivando uma vez (produto de t^2 por e^{-t}):
y_p'(t) = A\big(2t e^{-t} + t^2(-e^{-t})\big) = A e^{-t}(2t - t^2).
Derivando novamente:
y_p''(t) = A\frac{d}{dt}\big(e^{-t}(2t - t^2)\big).
Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dt}\big(e^{-t}(2t - t^2)\big) = e^{-t}(-1)(2t - t^2) + e^{-t}(2 - 2t).
Então
y_p''(t) = A e^{-t}\big(-(2t - t^2) + (2 - 2t)\big).
Simplificando dentro do colchete:
-(2t - t^2) + (2 - 2t) = -2t + t^2 + 2 - 2t = t^2 -4t + 2.
Portanto
y_p''(t) = A e^{-t}(t^2 -4t + 2).

Passo 8

Agora montamos a combinação y_p'' + 2y_p' + y_p:
y_p'' + 2y_p' + y_p = A e^{-t}\big( (t^2 -4t + 2) + 2(2t - t^2) + t^2 \big).
Vamos simplificar o conteúdo entre parênteses passo a passo:
(t^2 -4t + 2) + 2(2t - t^2) + t^2 = t^2 -4t + 2 + 4t -2t^2 + t^2.
Agrupando termos similares:
  • termos em t^2: t^2 -2t^2 + t^2 = 0,
  • termos em t: -4t + 4t = 0,
  • termos constantes: 2.
Logo o resultado é simplesmente 2. Assim
y_p'' + 2y_p' + y_p = A e^{-t} \cdot 2 = 2A e^{-t}.

Passo 9

Devemos igualar essa combinação ao lado direito da EDO, que é 2 e^{-t}. Portanto
2A e^{-t} = 2 e^{-t}.
Dividindo por 2 e^{-t} (que não é zero), obtemos
A = 1.
Assim a solução particular encontrada é
y_p(t) = t^2 e^{-t}.

Passo 10

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{-t} + C_2 t e^{-t} + t^2 e^{-t}.
Podemos fatorar e^{-t} se quisermos uma forma mais compacta:
y(t) = e^{-t}\big(C_1 + C_2 t + t^2\big).

Resposta

y(t)=e^{-t}\big(C_{1}+C_{2}t+t^{2}\big)

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