Considere x como uma variável independente e y como a variável dependente, encontre
.
,
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
onde
é a variável independente e
é a função dependente de
. A pergunta é: encontrar
. Informações relevantes: a função inversa do seno aparece à esquerda com argumento
e o lado direito é
. Não vamos resolver ainda, só identificamos o que é pedido e o que foi dado.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de forma didática):
- Regra da cadeia: se temos
, então . Aqui é o argumento que depende de . - Derivada da função inversa do seno: para
,
Isto significa que, ao aplicar a regra da cadeia em
, aparece um fator
.
- Regra do produto: se
, então . - Derivada de
em relação a : é função de , então , e pela cadeia.
Passo 3
Derivamos ambos os lados da equação em relação a
. Começando pela esquerda: apliquei a regra da cadeia com
. Usando a fórmula da derivada de
,
Agora calculo
usando regra do produto, pois
e
são fatores:
Portanto a derivada da esquerda é
Passo 4
Agora a derivada do lado direito
. Derivando termo a termo:
-
. - Para
uso regra do produto com e :
Somando,
Passo 5
Igualamos as derivadas obtidas nos Passos 3 e 4:
Passo 6
Agora isolamos os termos que contêm
. Multiplico ambos os lados por
(denotarei
para aliviar a escrita):
Distribuo o
no lado direito:
Agora passo os termos com
para o lado esquerdo e os sem
para o direito:
Passo 7
Fatorando
no lado esquerdo:
Finalmente, isolando
,
onde lembramos que
.