Considere x como uma variável independente e y como a variável dependente, encontre d y / d x.
\operatorname{sen}^{-1}\left(x^{2} y\right)=x+x y^{2},

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
\operatorname{sen}^{-1}\!\bigl(x^{2}y\bigr)=x+x y^{2},
onde x é a variável independente e y é a função dependente de x. A pergunta é: encontrar \dfrac{d y}{d x}. Informações relevantes: a função inversa do seno aparece à esquerda com argumento x^{2}y e o lado direito é x+xy^{2}. Não vamos resolver ainda, só identificamos o que é pedido e o que foi dado.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de forma didática):
  • Regra da cadeia: se temos F(u(x)), então \dfrac{d}{dx}F(u(x))=F'(u(x))\cdot u'(x). Aqui u(x) é o argumento que depende de x.
  • Derivada da função inversa do seno: para F(u)=\operatorname{sen}^{-1}(u),
F'(u)=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}.
Isto significa que, ao aplicar a regra da cadeia em \operatorname{sen}^{-1}(u(x)), aparece um fator \dfrac{u'(x)}{\sqrt{1-u(x)^{2}}}.
  • Regra do produto: se h(x)=f(x)g(x), então h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
  • Derivada de y em relação a x: y é função de x, então \dfrac{d}{dx}y=y', e \dfrac{d}{dx}y^{2}=2yy' pela cadeia.

Passo 3

Derivamos ambos os lados da equação em relação a x. Começando pela esquerda: apliquei a regra da cadeia com u(x)=x^{2}y. Usando a fórmula da derivada de \operatorname{sen}^{-1},
\frac{d}{dx}\left[\operatorname{sen}^{-1}\!\bigl(x^{2}y\bigr)\right] = \frac{1}{\sqrt{1-\bigl(x^{2}y\bigr)^{2}}}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y\bigr).
Agora calculo \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{2}y\bigr) usando regra do produto, pois x^{2} e y são fatores:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)\cdot y + x^{2}\cdot\frac{d}{dx}y =2x\,y + x^{2}y'.
Portanto a derivada da esquerda é
\frac{2x\,y + x^{2}y'}{\sqrt{1-x^{4}y^{2}}}.

Passo 4

Agora a derivada do lado direito x+xy^{2}. Derivando termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}x = 1.
  • Para \dfrac{d}{dx}\bigl(xy^{2}\bigr) uso regra do produto com f(x)=x e g(x)=y^{2}:
\frac{d}{dx}\bigl(xy^{2}\bigr)=\frac{d}{dx}x\cdot y^{2} + x\cdot\frac{d}{dx}y^{2} = 1\cdot y^{2} + x\cdot 2y y' = y^{2} + 2x y y'.
Somando,
\frac{d}{dx}\bigl(x+xy^{2}\bigr)=1 + y^{2} + 2x y y'.

Passo 5

Igualamos as derivadas obtidas nos Passos 3 e 4:
\frac{2x\,y + x^{2}y'}{\sqrt{1-x^{4}y^{2}}}=1 + y^{2} + 2x y y'.

Passo 6

Agora isolamos os termos que contêm y'. Multiplico ambos os lados por \sqrt{1-x^{4}y^{2}} (denotarei D=\sqrt{1-x^{4}y^{2}} para aliviar a escrita):
2x\,y + x^{2}y' = (1 + y^{2} + 2x y y')D.
Distribuo o D no lado direito:
2x\,y + x^{2}y' = (1 + y^{2})D + 2x y y' D.
Agora passo os termos com y' para o lado esquerdo e os sem y' para o direito:
x^{2}y' - 2x y y' D = (1 + y^{2})D - 2x\,y.

Passo 7

Fatorando y' no lado esquerdo:
y'\bigl(x^{2} - 2x y D\bigr) = (1 + y^{2})D - 2x\,y.
Finalmente, isolando y',
y'=\frac{(1 + y^{2})D - 2x\,y}{x^{2} - 2x y D},
onde lembramos que D=\sqrt{1-x^{4}y^{2}}.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{(1 + y^{2})\sqrt{1-x^{4}y^{2}} - 2x\,y}{x^{2} - 2x y \sqrt{1-x^{4}y^{2}}}

Exercícios relacionados