Determine a derivada das seguintes funções:
,
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada da função
Informações dadas:
O que precisamos encontrar: a expressão de
, a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Vamos decompor a função em camadas (composições) para aplicar a regra da cadeia passo a passo. É útil fazer a substituição
assim
Iremos derivar de fora para dentro: primeiro a potência
, depois a soma
, depois a potência
, depois
, e por fim
.
Passo 3
Relembrando as regras que vamos usar (explicadas de forma direta):
onde
é uma função qualquer e
é um número real. Aqui
é a derivada de
.
Vou aplicar essas regras em sequência, explicando cada passo.
Passo 4
Aplicando a regra da potência composta à função externa
:
Agora
porque a derivada de
é
. Para
usamos novamente a regra da potência composta (com
e
):
A derivada de
em relação a
é, pela regra da cadeia,
E sabemos que
Juntando tudo:
Substituindo esse resultado na expressão do passo anterior:
Passo 5
Agora simplificamos os coeficientes numéricos:
Portanto os fatores numéricos se cancelam, sobrando apenas os fatores dependentes de
:
Voltando à variável original
, obtemos a forma final:
Dica rápida para a prova: desmonta a função em camadas, aplica a regra da potência/composição a cada camada e não esquece de multiplicar pelo derivado da camada interna (aquele fator
no nosso caso). Aqui deu sorte: os números se simplificaram bastante!