Determine a derivada das seguintes funções:
f(t)=\left(1+\tan ^{4}\left(\frac{t}{12}\right)\right)^{3},

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada da função
f(t)=\left(1+\tan^{4}\!\left(\frac{t}{12}\right)\right)^{3}.
Informações dadas:
\text{função } f \text{ em termos da variável } t,\qquad f(t)=\left(1+\tan^{4}\!\left(\frac{t}{12}\right)\right)^{3}.çãá
O que precisamos encontrar: a expressão de f'(t), a derivada de f em relação a t.

Passo 2

Vamos decompor a função em camadas (composições) para aplicar a regra da cadeia passo a passo. É útil fazer a substituição
u=\frac{t}{12},
assim
f(t)=\bigl(1+\tan^{4}(u)\bigr)^{3}\quad\text{com }u=\frac{t}{12}.
Iremos derivar de fora para dentro: primeiro a potência (\cdot)^{3}, depois a soma 1+\tan^{4}(u), depois a potência \tan^{4}(u), depois \tan(u), e por fim u=\tfrac{t}{12}.

Passo 3

Relembrando as regras que vamos usar (explicadas de forma direta):
\text{(a) Regra da potência composta:}\qquad \frac{d}{dx}\bigl(g(x)\bigr)^{n}=n\bigl(g(x)\bigr)^{n-1}\,g'(x),ê
onde g(x) é uma função qualquer e n é um número real. Aqui g'(x) é a derivada de g.
\text{(b) Regra da cadeia (forma prática):}\qquad \text{se }F(x)=H(G(x))\text{ então }F'(x)=H'(G(x))\cdot G'(x).áã
\text{\text{(c)} Derivada da tangente:}\qquad \frac{d}{dx}\tan(x)=\operatorname{sec}^{2}(x)=\frac{1}{\cos^{2}(x)}.
\text{(d) Derivada de uma função linear:}\qquad \frac{d}{dt}\left(\frac{t}{12}\right)=\frac{1}{12}.çã
Vou aplicar essas regras em sequência, explicando cada passo.

Passo 4

Aplicando a regra da potência composta à função externa \bigl(1+\tan^{4}(u)\bigr)^{3}:
\frac{d}{dt}\bigl(1+\tan^{4}(u)\bigr)^{3}=3\bigl(1+\tan^{4}(u)\bigr)^{2}\cdot\frac{d}{dt}\bigl(1+\tan^{4}(u)\bigr).
Agora \frac{d}{dt}\bigl(1+\tan^{4}(u)\bigr)=\frac{d}{dt}\tan^{4}(u) porque a derivada de 1 é 0. Para \tan^{4}(u) usamos novamente a regra da potência composta (com g(u)=\tan(u) e n=4):
\frac{d}{dt}\tan^{4}(u)=4\tan^{3}(u)\cdot\frac{d}{dt}\tan(u).
A derivada de \tan(u) em relação a t é, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dt}\tan(u)=\operatorname{sec}^{2}(u)\cdot\frac{du}{dt}.
E sabemos que
\frac{du}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{t}{12}\right)=\frac{1}{12}.
Juntando tudo:
\frac{d}{dt}\tan^{4}(u)=4\tan^{3}(u)\cdot\operatorname{sec}^{2}(u)\cdot\frac{1}{12}.
Substituindo esse resultado na expressão do passo anterior:
f'(t)=3\bigl(1+\tan^{4}(u)\bigr)^{2}\cdot\left(4\tan^{3}(u)\cdot\operatorname{sec}^{2}(u)\cdot\frac{1}{12}\right).

Passo 5

Agora simplificamos os coeficientes numéricos:
3\times 4 \times \frac{1}{12}=\frac{12}{12}=1.
Portanto os fatores numéricos se cancelam, sobrando apenas os fatores dependentes de u:
f'(t)=\tan^{3}(u)\,\operatorname{sec}^{2}(u)\,\bigl(1+\tan^{4}(u)\bigr)^{2}.
Voltando à variável original u=\dfrac{t}{12}, obtemos a forma final:
f'(t)=\tan^{3}\!\left(\frac{t}{12}\right)\,\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{t}{12}\right)\,\left(1+\tan^{4}\!\left(\frac{t}{12}\right)\right)^{2}.
Dica rápida para a prova: desmonta a função em camadas, aplica a regra da potência/composição a cada camada e não esquece de multiplicar pelo derivado da camada interna (aquele fator \tfrac{1}{12} no nosso caso). Aqui deu sorte: os números se simplificaram bastante!

Resposta

\tan^{3}\!\left(\frac{t}{12}\right)\,\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{t}{12}\right)\,\left(1+\tan^{4}\!\left(\frac{t}{12}\right)\right)^{2}

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