Uma mola de constante elástica $20 \mathrm{~N} / \mathrm{m}$ é presa a uma partícula de massa 2 kg . Tal sistema encontrase num meio onde há a ação de uma força dissipativa $F_{d}$ proporcional à velocidade da partícula $v$, com constante de proporcionalidade $-44 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}$ (ou seja, $\mathrm{F}_{\mathrm{d}}=-44 v$ ). Assuma que não existe força externa agindo sobre a partícula. Suponha que no instante $t=0$ soltamos a massa da sua posição de equilíbrio com velocidade de $12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ para cima. a) Descreva a posição da partícula em função do tempo. b) O que acontece com a partícula quando $t \rightarrow \infty$ ?

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola amortecido sem força externa. Temos massa m=2,kg, constante el’astica k=20,N/m e for\c{c}a de amortecimento Fd=-44,v, ou seja, coeficiente de amortecimento c=44, Ncdot s/m. Lançamos a partícula de sua posição de equilíbrio com x(0)=0 e velocidade inicial x'(0)=12,m/s. Vamos modelar por uma EDO linear de segunda ordem e resolver para x(t).

Passo 2

A equação de movimento é
m,x'' + c,x' + k,x = 0
Substituindo m=2, c=44 e k=20 obtemos
2,x'' + 44,x' + 20,x = 0
A equação característica associada é
2r^2 + 44r + 20 = 0

Passo 3

Resolvendo a quadrática
r = -44 pm raiz44^2 - 4cdot2cdot202cdot2 = -44 pm raiz1936 - 1604 = -44 pm raiz17764 = -44 pm 4raiz1114,
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r1 = -11 + raiz111e r2 = -11 - raiz111
Como c^2>4mk, o sistema está sobreamortecido ( r1,r2<0 distintos).

Passo 4

A solução geral é
x(t) = A e^r1 t + B e^r2 t
Das condições iniciais temos
x(0)=A+B=0 Longrightarrow B=-A,
e
x'(t)=A,r1 e^r1 t+B,r2 e^r2 t,
então
x'(0)=A,r1 + B,r2 =12 Longrightarrow A(r1 - r2)=12 Longrightarrow A=12r1-r2=122raiz111=6raiz111
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B=-6raiz111

Passo 5

Substituindo A e B na solução geral, a posição da partícula é
x(t) = 6raiz111l(e^(-11+raiz111)t-e^(-11-raiz111)tr)

Passo 6

Para ttoinfty, as duas exponenciais vão a zero (pois r1<0 e r2<0). Portanto
limttoinftyx(t)=0

Resposta

a) x(t) = 6raiz111l(e^(-11+raiz111)t-e^(-11-raiz111)tr)
b) Quando ttoinfty, x(t)to0: a partícula retorna à posição de equilíbrio e fica em repouso.

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