Uma mola de constante elástica $20 \mathrm{~N} / \mathrm{m}$ é presa a uma partícula de massa 2 kg . Tal sistema encontrase num meio onde há a ação de uma força dissipativa $F_{d}$ proporcional à velocidade da partícula $v$, com constante de proporcionalidade $-44 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}$ (ou seja, $\mathrm{F}_{\mathrm{d}}=-44 v$ ). Assuma que não existe força externa agindo sobre a partícula. Suponha que no instante $t=0$ soltamos a massa da sua posição de equilíbrio com velocidade de $12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ para cima. a) Descreva a posição da partícula em função do tempo. b) O que acontece com a partícula quando $t \rightarrow \infty$ ?
Passo 1
O enunciado descreve um sistema massa-mola amortecido sem força externa. Temos massa
,kg, constante el’astica
,N/m e for\c{c}a de amortecimento
, ou seja, coeficiente de amortecimento
,
/m. Lançamos a partícula de sua posição de equilíbrio com
e velocidade inicial
,m/s. Vamos modelar por uma EDO linear de segunda ordem e resolver para
.
Passo 2
A equação de movimento é
Substituindo
,
e
obtemos
A equação característica associada é
Passo 3
Resolvendo a quadrática
logo
Como
, o sistema está sobreamortecido (
distintos).
Passo 4
A solução geral é
Das condições iniciais temos
e
então
Logo
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, a posição da partícula é
Passo 6
Para
, as duas exponenciais vão a zero (pois
e
). Portanto
Resposta
a)
b) Quando
,
: a partícula retorna à posição de equilíbrio e fica em repouso.