QUESTÃO 1: Encontre a solução do problema de valor inicial dado por
y^{\prime}+2 x y=x e^{-x^{2}}, \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y^{\prime}+2 x y=x e^{-x^{2}},\qquad y(0)=1.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial dada para todo x (no domínio natural da solução) e que também verifica a condição inicial y(0)=1. As informações relevantes são exatamente a equação diferencial e a condição inicial acima.

Passo 2

Observação sobre a forma da equação e escolha do método (explicação didática, passo a passo).
A equação está escrita na forma
y^{\prime}+P(x)\,y=Q(x),
onde, neste caso, identificamos
P(x)=2x,\qquad Q(x)=x e^{-x^{2}}.
Para esse tipo de equação de primeira ordem, existe um método muito eficiente chamado fator integrante. A ideia do fator integrante é multiplicar a equação por uma função \mu(x) escolhida de modo que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto \mu(x)\,y(x). Isso funciona porque, se conseguirmos \mu tal que \mu'=\mu P, então
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu y'+\mu' y=\mu\big(y'+P y\big),
ou seja, multiplicando pela \mu adequada transformamos a equação em uma forma imediatamente integrável. Vou usar esse método porque aqui P(x) e Q(x) são funções simples e o fator integrante fica fácil de calcular.

Passo 3

Cálculo do fator integrante \mu(x).
O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
Substituindo P(x)=2x,
\mu(x)=\exp\!\Big(\int 2x\,dx\Big)=\exp\!\big(x^{2}\big).
Obs.: a constante de integração dentro do expoente só mudaria \mu por um fator constante multiplicativo, que se cancela ao resolver para y, então tomamos a forma principal \mu(x)=e^{x^{2}}.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(x)=e^{x^{2}} e reconhecer a derivada de um produto.
Multiplicando ambos os lados por e^{x^{2}} obtemos
e^{x^{2}}y^{\prime}+2x e^{x^{2}}y = x e^{-x^{2}} e^{x^{2}}.
No lado direito x e^{-x^{2}} e^{x^{2}}=x. No lado esquerdo podemos usar a identidade do passo anterior: como \mu'=2x e^{x^{2}}=\mu P, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big(e^{x^{2}}y\big)=x.

Passo 5

Integrar ambos os lados para obter a solução geral.
Agora integramos em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{x^{2}}y\big)\,dx=\int x\,dx.
Isso dá
e^{x^{2}}y=\frac{x^{2}}{2}+C,
onde C é a constante de integração. Agora isolamos y:
y=e^{-x^{2}}\Big(\frac{x^{2}}{2}+C\Big).
Aqui C é uma constante arbitrária ainda a ser determinada pela condição inicial.

Passo 6

Aplicar a condição inicial para determinar a constante C.
A condição inicial é y(0)=1. Substituindo x=0 na solução geral,
y(0)=e^{0}\Big(\frac{0^{2}}{2}+C\Big)=C.
Como y(0)=1, segue que C=1.

Passo 7

Comentários finais e verificação rápida do passo de integração.
Com C=1 a solução fica totalmente determinada. Uma verificação rápida: da igualdade integrada e^{x^{2}}y=\dfrac{x^{2}}{2}+C segue \dfrac{d}{dx}(e^{x^{2}}y)=x, que é consistente com o passo onde obtivemos essa derivada; portanto o processo está correto. Vai dar tudo certo na prova — respira, você já tem a solução.

Resposta

y(x)=e^{-x^{2}}\Big(\frac{x^{2}}{2}+1\Big)

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