QUESTÃO 1: Encontre a solução do problema de valor inicial dado por
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial dada para todo
(no domínio natural da solução) e que também verifica a condição inicial
. As informações relevantes são exatamente a equação diferencial e a condição inicial acima.
Passo 2
Observação sobre a forma da equação e escolha do método (explicação didática, passo a passo).
A equação está escrita na forma
A equação está escrita na forma
onde, neste caso, identificamos
Para esse tipo de equação de primeira ordem, existe um método muito eficiente chamado fator integrante. A ideia do fator integrante é multiplicar a equação por uma função
escolhida de modo que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto
. Isso funciona porque, se conseguirmos
tal que
, então
ou seja, multiplicando pela
adequada transformamos a equação em uma forma imediatamente integrável. Vou usar esse método porque aqui
e
são funções simples e o fator integrante fica fácil de calcular.
Passo 3
Cálculo do fator integrante
.
O fator integrante é
O fator integrante é
Substituindo
,
Obs.: a constante de integração dentro do expoente só mudaria
por um fator constante multiplicativo, que se cancela ao resolver para
, então tomamos a forma principal
.
Passo 4
Multiplicar a equação original por
e reconhecer a derivada de um produto.
Multiplicando ambos os lados por obtemos
Multiplicando ambos os lados por
No lado direito
. No lado esquerdo podemos usar a identidade do passo anterior: como
, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
Passo 5
Integrar ambos os lados para obter a solução geral.
Agora integramos em relação a :
Agora integramos em relação a
Isso dá
onde
é a constante de integração. Agora isolamos
:
Aqui
é uma constante arbitrária ainda a ser determinada pela condição inicial.
Passo 6
Aplicar a condição inicial para determinar a constante
.
A condição inicial é . Substituindo
na solução geral,
A condição inicial é
Como
, segue que
.
Passo 7
Comentários finais e verificação rápida do passo de integração.
Com a solução fica totalmente determinada. Uma verificação rápida: da igualdade integrada
segue
, que é consistente com o passo onde obtivemos essa derivada; portanto o processo está correto. Vai dar tudo certo na prova — respira, você já tem a solução.
Com