Utilizando as regras de derivação (regras do produto, do quociente e da cadeia), calcule a derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada
.
Informações relevantes que temos: a função é uma composição — seno aplicado a — e o produto
envolve a exponencial. O objetivo é calcular
.
Informações relevantes que temos: a função é uma composição — seno aplicado a
Passo 2
Vamos lembrar as regras que vamos usar (aqui explico cada uma bem devagar, como se estivéssemos resolvendo na prova).
- Derivada do seno: se
então, pela regra básica,
Isto significa: ao derivar
em relação ao seu argumento, aparece
do mesmo argumento.
- Regra da cadeia (explicada): se temos uma função composta
, a derivada é
Ou seja, derivamos a função externa
em relação ao argumento e multiplicamos pela derivada do argumento
. Exemplo rápido: se
, então
.
- Regra do produto (explicada): se
, então
Exemplo: se
, então
.
- Derivada da exponencial: para
,
Agora que temos as regras claras, vamos aplicá‑las passo a passo ao nosso problema.
Passo 3
Identificar funções interna e externa para aplicar a regra da cadeia. Aqui:
- Função externa
. - Função interna
.
Pela regra da cadeia,
Passo 4
Calcular
onde
usando a regra do produto. Tomamos
e
. Então
Aplicando a regra do produto:
Passo 5
Simplificar
. Fatorando
,
Passo 6
Substituir
na expressão da derivada obtida pela cadeia:
Podemos reescrever de forma mais limpa (multiplicação é comutativa):