Utilizando as regras de derivação (regras do produto, do quociente e da cadeia), calcule a derivadas das seguintes funções:
g(x)=\operatorname{sen}\left(x \cdot e^{x}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=\operatorname{sen}\!\big(x\cdot e^{x}\big)
e pede a derivada g'(x).
Informações relevantes que temos: a função é uma composição — seno aplicado a x\cdot e^{x} — e o produto x\cdot e^{x} envolve a exponencial. O objetivo é calcular g'(x).

Passo 2

Vamos lembrar as regras que vamos usar (aqui explico cada uma bem devagar, como se estivéssemos resolvendo na prova).
  • Derivada do seno: se f(u)=\operatorname{sen}(u) então, pela regra básica,
f'(u)=\cos(u).
Isto significa: ao derivar \operatorname{sen} em relação ao seu argumento, aparece \cos do mesmo argumento.
  • Regra da cadeia (explicada): se temos uma função composta F(x)=f\big(u(x)\big), a derivada é
F'(x)=f'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Ou seja, derivamos a função externa f em relação ao argumento e multiplicamos pela derivada do argumento u(x). Exemplo rápido: se F(x)=\operatorname{sen}(x^2), então F'(x)=\cos(x^2)\cdot 2x.
  • Regra do produto (explicada): se h(x)=p(x)\cdot q(x), então
h'(x)=p'(x)\cdot q(x)+p(x)\cdot q'(x).
Exemplo: se h(x)=x\cdot e^{x}, então h'(x)=1\cdot e^{x}+x\cdot e^{x}.
  • Derivada da exponencial: para v(x)=e^{x},
v'(x)=e^{x}.
Agora que temos as regras claras, vamos aplicá‑las passo a passo ao nosso problema.

Passo 3

Identificar funções interna e externa para aplicar a regra da cadeia. Aqui:
  • Função externa f(u)=\operatorname{sen}(u).
  • Função interna u(x)=x\cdot e^{x}.
Pela regra da cadeia,
g'(x)=\cos\big(u(x)\big)\cdot u'(x)=\cos\!\big(x\cdot e^{x}\big)\cdot \big(x\cdot e^{x}\big)'.

Passo 4

Calcular u'(x) onde u(x)=x\cdot e^{x} usando a regra do produto. Tomamos p(x)=x e q(x)=e^{x}. Então
p'(x)=1,\qquad q'(x)=e^{x}.
Aplicando a regra do produto:
u'(x)=p'(x)q(x)+p(x)q'(x)=1\cdot e^{x}+x\cdot e^{x}.

Passo 5

Simplificar u'(x). Fatorando e^{x},
u'(x)=e^{x}+x e^{x}=e^{x}\big(1+x\big).

Passo 6

Substituir u'(x) na expressão da derivada obtida pela cadeia:
g'(x)=\cos\!\big(x e^{x}\big)\cdot e^{x}\big(1+x\big).
Podemos reescrever de forma mais limpa (multiplicação é comutativa):
g'(x)=e^{x}\big(1+x\big)\cos\!\big(x e^{x}\big).

Resposta

g'(x)=e^{x}\big(1+x\big)\cos\!\big(x e^{x}\big)

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