Utilizando as regras de derivação (regras do produto, do quociente e da cadeia), calcule a derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações fornecidas: a expressão de
é o produto de duas funções de
: a função
e a função
. A função está definida para todo
porque
e
são definidas em todos os reais. A tarefa é devolver
, a derivada de
em função de
.
Passo 2
Lembrando a definição prática de derivada: a derivada de uma função dá a taxa instantânea de variação dessa função em relação a
. Para funções combinadas (produto ou composição) há fórmulas que permitem calcular a derivada de forma sistemática. Aqui vamos aplicar a fórmula do produto para duas funções
e
, cuja forma em bloco é
Nessa fórmula,
é a derivada de
em relação a
e
a derivada de
.
Passo 3
Identificamos as duas funções do produto:
Calculemos
. A derivada de
em relação a
é
Isso é direto: se a função é
, sua taxa de variação é constante e vale
.
Passo 4
Agora precisamos de
, a derivada de
. Trata‑se de uma função composta: primeiro
e depois
. Para composições usamos a regra da cadeia, cuja forma em bloco é
Aqui podemos tomar
(função externa) e
(função interna). As derivadas conhecidas são:
Aplicando a regra da cadeia:
Um exemplo simples para fixar: se tivesse
, a derivada seria
; aqui o papel do
é desempenhado por
e sua derivada é
.
Passo 5
Agora juntamos tudo pela fórmula do produto (Passo 2):
Substituindo
,
,
e
, obtemos
Multiplicando e arrumando os fatores:
Passo 6
Interpretação e checagem rápida: a primeira parcela
vem da derivada de
(que é
) multiplicada pela parte trigonométrica; a segunda parcela
vem da função
multiplicada pela derivada da parte composta
. Um exemplo numérico: em
temos
, consistente com a fórmula.