Utilizando as regras de derivação (regras do produto, do quociente e da cadeia), calcule a derivadas das seguintes funções:
h(x)=x \cdot \operatorname{sen}\left(e^{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
h(x)=x\cdot \operatorname{sen}\!\bigl(e^{x}\bigr).
Informações fornecidas: a expressão de h(x) é o produto de duas funções de x: a função x e a função \operatorname{sen}\!\bigl(e^{x}\bigr). A função está definida para todo x\in\mathbb{R} porque e^{x} e \operatorname{sen} são definidas em todos os reais. A tarefa é devolver h'(x), a derivada de h em função de x.

Passo 2

Lembrando a definição prática de derivada: a derivada de uma função dá a taxa instantânea de variação dessa função em relação a x. Para funções combinadas (produto ou composição) há fórmulas que permitem calcular a derivada de forma sistemática. Aqui vamos aplicar a fórmula do produto para duas funções u(x) e v(x), cuja forma em bloco é
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)\,v(x)\bigr)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Nessa fórmula, u'(x) é a derivada de u em relação a x e v'(x) a derivada de v.

Passo 3

Identificamos as duas funções do produto:
u(x)=x,\qquad v(x)=\operatorname{sen}\!\bigl(e^{x}\bigr).
Calculemos u'(x). A derivada de x em relação a x é
u'(x)=1.
Isso é direto: se a função é u(x)=x, sua taxa de variação é constante e vale 1.

Passo 4

Agora precisamos de v'(x), a derivada de \operatorname{sen}\!\bigl(e^{x}\bigr). Trata‑se de uma função composta: primeiro x\mapsto e^{x} e depois t\mapsto \operatorname{sen}(t). Para composições usamos a regra da cadeia, cuja forma em bloco é
\frac{d}{dx}\bigl(f(g(x))\bigr)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Aqui podemos tomar f(t)=\operatorname{sen}(t) (função externa) e g(x)=e^{x} (função interna). As derivadas conhecidas são:
f'(t)=\operatorname{cos}(t)\quad\text{e}\quad g'(x)=e^{x}.
Aplicando a regra da cadeia:
v'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{sen}\!\bigl(e^{x}\bigr)=\operatorname{cos}\!\bigl(e^{x}\bigr)\cdot e^{x}.
Um exemplo simples para fixar: se tivesse \operatorname{sen}(2x), a derivada seria \operatorname{cos}(2x)\cdot 2; aqui o papel do 2 é desempenhado por e^{x} e sua derivada é e^{x}.

Passo 5

Agora juntamos tudo pela fórmula do produto (Passo 2):
h'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u'(x)=1, u(x)=x, v(x)=\operatorname{sen}\!\bigl(e^{x}\bigr) e v'(x)=\operatorname{cos}\!\bigl(e^{x}\bigr)\,e^{x}, obtemos
h'(x)=1\cdot \operatorname{sen}\!\bigl(e^{x}\bigr)+x\cdot\bigl(\operatorname{cos}\!\bigl(e^{x}\bigr)\,e^{x}\bigr).
Multiplicando e arrumando os fatores:
h'(x)=\operatorname{sen}\!\bigl(e^{x}\bigr)+x\,e^{x}\,\operatorname{cos}\!\bigl(e^{x}\bigr).

Passo 6

Interpretação e checagem rápida: a primeira parcela \operatorname{sen}\!\bigl(e^{x}\bigr) vem da derivada de x (que é 1) multiplicada pela parte trigonométrica; a segunda parcela x\,e^{x}\,\operatorname{cos}\!\bigl(e^{x}\bigr) vem da função x multiplicada pela derivada da parte composta \operatorname{sen}(e^{x}). Um exemplo numérico: em x=0 temos h'(0)=\operatorname{sen}(1)+0\cdot e^{0}\operatorname{cos}(1)=\operatorname{sen}(1), consistente com a fórmula.

Resposta

h'(x)=\operatorname{sen}\!\bigl(e^{x}\bigr)+x\,e^{x}\,\operatorname{cos}\!\bigl(e^{x}\bigr)

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