Classificar cada equação abaixo indicando a ordem e se é linear ou não linear.
(E.)
(E.)
Passo 1
O enunciado pede para classificar a equação diferencial quanto à ordem e quanto à linearidade. A equação dada é
Informações relevantes fornecidas:
- A incógnita é
, função de . - Aparecem derivadas de
até a derivada terceira, indicada por . - Há um termo
que depende só de . - Há um termo
que depende de de forma não linear (recíproco).
Passo 2
O que é “ordem” de uma equação diferencial? A ordem é o maior número de derivada de
que aparece na equação. Aqui a maior derivada presente é
, que é a derivada de ordem 3. Portanto a ordem da equação é
.
Passo 3
O que é uma equação diferencial linear (ordinária)? Uma equação diferencial ordinária de ordem
é linear se pode ser escrita na forma
onde cada
e
são funções apenas da variável independente
. Observe que:
- “Linear” significa linear em
e em todas as derivadas de : não aparecem termos como , , , produtos entre e , etc. - Coeficientes podem depender de
, mas não de .
Um exemplo de equação linear:
Um exemplo de equação não linear: (porque aparece
).
Um exemplo de equação não linear:
Passo 4
Aplique a definição à equação dada. Reescrevendo isolando a maior derivada:
Aqui o membro à direita contém o termo
, que depende de
de maneira não linear (é o inverso de
). Isso viola a forma linear porque, para ser linear, os termos envolvendo
e suas derivadas deveriam ser somas de coeficientes que dependem apenas de
multiplicando
ou suas derivadas — por exemplo, algo do tipo
, nunca
. Portanto a presença de
torna a equação não linear.
Passo 5
Resumo didático e motivador: a equação é uma EDO (equação diferencial ordinária) de ordem
porque aparece
. Ela é não linear por causa do termo
. Lembra: na prova, ao classificar, primeiro procure a maior derivada (ordem) e depois verifique se todos os termos que envolvem
e suas derivadas aparecem apenas multiplicados por funções de
; se aparecer qualquer função não-linear de
(como potência, recíproco, seno de
, produto entre
e
, etc.), declare não linear. Força aí — você já tem o procedimento claro!
Resposta
Ordem
, não linear.