Classificar cada equação abaixo indicando a ordem e se é linear ou não linear.
(E.) y_{x x x}+3 x=\frac{1}{y}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial quanto à ordem e quanto à linearidade. A equação dada é
y_{x x x}+3 x=\frac{1}{y}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A incógnita é y, função de x.
  • Aparecem derivadas de y até a derivada terceira, indicada por y_{x x x}.
  • Há um termo 3x que depende só de x.
  • Há um termo \dfrac{1}{y} que depende de y de forma não linear (recíproco).

Passo 2

O que é “ordem” de uma equação diferencial? A ordem é o maior número de derivada de y que aparece na equação. Aqui a maior derivada presente é y_{x x x}, que é a derivada de ordem 3. Portanto a ordem da equação é 3.

Passo 3

O que é uma equação diferencial linear (ordinária)? Uma equação diferencial ordinária de ordem n é linear se pode ser escrita na forma
a_n(x)\,y^{(n)}+a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)\,y'+a_0(x)\,y = g(x),
onde cada a_i(x) e g(x) são funções apenas da variável independente x. Observe que:
  • “Linear” significa linear em y e em todas as derivadas de y: não aparecem termos como y^2, \sin(y), \dfrac{1}{y}, produtos entre y e y', etc.
  • Coeficientes podem depender de x, mas não de y.
Um exemplo de equação linear: \;y''+p(x)\,y'+q(x)\,y = r(x)\;.
Um exemplo de equação não linear: \;y''+y^2=0\; (porque aparece y^2).

Passo 4

Aplique a definição à equação dada. Reescrevendo isolando a maior derivada:
y_{x x x}=\frac{1}{y}-3x.
Aqui o membro à direita contém o termo \dfrac{1}{y}, que depende de y de maneira não linear (é o inverso de y). Isso viola a forma linear porque, para ser linear, os termos envolvendo y e suas derivadas deveriam ser somas de coeficientes que dependem apenas de x multiplicando y ou suas derivadas — por exemplo, algo do tipo a_0(x)\,y, nunca \dfrac{1}{y}. Portanto a presença de \dfrac{1}{y} torna a equação não linear.

Passo 5

Resumo didático e motivador: a equação é uma EDO (equação diferencial ordinária) de ordem 3 porque aparece y_{x x x}. Ela é não linear por causa do termo \dfrac{1}{y}. Lembra: na prova, ao classificar, primeiro procure a maior derivada (ordem) e depois verifique se todos os termos que envolvem y e suas derivadas aparecem apenas multiplicados por funções de x; se aparecer qualquer função não-linear de y (como potência, recíproco, seno de y, produto entre y e y', etc.), declare não linear. Força aí — você já tem o procedimento claro!

Resposta

Ordem 3, não linear.

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