Questão 2. Encontre todas as possíveis formas canônicas de Jordan de cada um dos operadores lineares T: V \rightarrow V cujo polinômio característico e minimal é dado da forma:
(a) polinômio característico p_{T}(\lambda)=(\lambda-2)^{4}(\lambda-5)^{3} e minimal m_{T}(\lambda)=(\lambda-2)^{2}(\lambda-5)^{3}.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todas as possíveis formas canônicas de Jordan dos operadores lineares T:V\to V tais que o polinômio característico e o polinômio minimal são, respectivamente,
p_{T}(\lambda)=(\lambda-2)^{4}(\lambda-5)^{3}
e
m_{T}(\lambda)=(\lambda-2)^{2}(\lambda-5)^{3}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
O autovalor \lambda=2 tem multiplicidade algébrica 4 (vem de (\lambda-2)^4).
O autovalor \lambda=5 tem multiplicidade algébrica 3 (vem de (\lambda-5)^3).
No polinômio minimal, o fator (\lambda-2) aparece com expoente 2: isso impõe restrição sobre os blocos de Jordan relativos a \lambda=2.
No polinômio minimal, o fator (\lambda-5) aparece com expoente 3: isso impõe restrição sobre os blocos de Jordan relativos a \lambda=5.
Passo 2
O que é um bloco de Jordan e a forma canônica de Jordan (aula rápida e prática).
Um bloco de Jordan de tamanho k associado ao autovalor \lambda é a matriz J_k(\lambda) que tem \lambda na diagonal principal, 1 na superdiagonal (logo acima da diagonal) e 0 em todos os outros lugares. Exemplo:
A forma canônica de Jordan de uma matriz (ou operador) é uma matriz em bloco diagonal onde cada bloco é um J_k(\lambda_i) para os autovalores \lambda_i. A soma dos tamanhos dos blocos correspondentes a um autovalor \lambda deve ser igual à multiplicidade algébrica de \lambda (vinda do polinômio característico).
Importante: o expoente de (\lambda-\lambda_0) no polinômio minimal é igual ao tamanho do maior bloco de Jordan associado a \lambda_0. Vou usar isso várias vezes abaixo.]
Passo 3
Interpretação do polinômio minimal e suas implicações práticas.
Se no polinômio minimal (\lambda-\lambda_0)^{s} aparece com expoente s, isso significa que, na decomposição em blocos de Jordan, o maior bloco associado a \lambda_0 tem tamanho exatamente s.
Consequência prática: para cada autovalor \lambda_0 devemos repartir a multiplicidade algébrica a (do característico) em blocos cuja soma de tamanhos é a, com a restrição de que pelo menos um desses blocos tem tamanho s e nenhum bloco pode ter tamanho maior que s.
Passo 4
Aplicação para o autovalor \lambda=2.
Dados: multiplicidade algébrica a_{2}=4 (porque (\lambda-2)^4 no característico) e no minimal o expoente é s_{2}=2 (porque (\lambda-2)^2 no minimal).
Regras: devemos decompor 4 como soma de inteiros positivos (tamanhos de blocos) tal que nenhum bloco tenha tamanho maior que 2 e pelo menos um bloco tenha exatamente tamanho 2.
Partições de 4 com partes \le 2 e ao menos uma parte igual a 2:
4 = 2+2.
4 = 2+1+1.
A partição 4 = 1+1+1+1 é proibida porque aí todos os blocos teriam tamanho 1, o que implicaria que o maior bloco teria tamanho 1, contradizendo s_{2}=2.
Portanto, para \lambda=2 existem exatamente duas possibilidades de configuração de blocos: dois blocos J_2(2), ou um bloco J_2(2) e dois blocos J_1(2).
Passo 5
Aplicação para o autovalor \lambda=5.
Dados: multiplicidade algébrica a_{5}=3 (porque (\lambda-5)^3 no característico) e no minimal o expoente é s_{5}=3 (porque (\lambda-5)^3 no minimal).
Regras: devemos decompor 3 como soma de inteiros positivos tal que nenhum bloco tenha tamanho maior que 3 e pelo menos um bloco tenha tamanho 3.
Como a soma total é 3, a única partição que contém uma parte 3 é 3 sozinho.
Assim, para \lambda=5 há apenas uma possibilidade: um único bloco J_3(5).
Passo 6
Combinação das escolhas para formar as formas de Jordan completas.
As escolhas para \lambda=2 são duas (ver Passo 4) e para \lambda=5 é uma (Passo 5). Combinando, obtemos exatamente duas formas canônicas de Jordan distintas para todo o operador T.
Observações adicionais úteis para a prova:
A multiplicidade geométrica de um autovalor (dimensão do autoespaço) é igual ao número de blocos de Jordan associados a esse autovalor.
No caso \lambda=2, as duas possibilidades dão multiplicidade geométrica 2 (quando partimos 4=2+2) ou 3 (quando partimos 4=2+1+1).
No caso \lambda=5, a multiplicidade geométrica é 1 (um único bloco J_3(5)).
Não vou repetir as formas finais aqui; elas estão organizadas de maneira clara na seção de resposta final abaixo.