Questão 2. Encontre todas as possíveis formas canônicas de Jordan de cada um dos operadores lineares T: V \rightarrow V cujo polinômio característico e minimal é dado da forma:
(a) polinômio característico p_{T}(\lambda)=(\lambda-2)^{4}(\lambda-5)^{3} e minimal m_{T}(\lambda)=(\lambda-2)^{2}(\lambda-5)^{3}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todas as possíveis formas canônicas de Jordan dos operadores lineares T:V\to V tais que o polinômio característico e o polinômio minimal são, respectivamente,
p_{T}(\lambda)=(\lambda-2)^{4}(\lambda-5)^{3}
e
m_{T}(\lambda)=(\lambda-2)^{2}(\lambda-5)^{3}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  1. O autovalor \lambda=2 tem multiplicidade algébrica 4 (vem de (\lambda-2)^4).
  2. O autovalor \lambda=5 tem multiplicidade algébrica 3 (vem de (\lambda-5)^3).
  3. No polinômio minimal, o fator (\lambda-2) aparece com expoente 2: isso impõe restrição sobre os blocos de Jordan relativos a \lambda=2.
  4. No polinômio minimal, o fator (\lambda-5) aparece com expoente 3: isso impõe restrição sobre os blocos de Jordan relativos a \lambda=5.

Passo 2

O que é um bloco de Jordan e a forma canônica de Jordan (aula rápida e prática).
  • Um bloco de Jordan de tamanho k associado ao autovalor \lambda é a matriz J_k(\lambda) que tem \lambda na diagonal principal, 1 na superdiagonal (logo acima da diagonal) e 0 em todos os outros lugares. Exemplo:
J_2(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda & 1\\[4pt]0 & \lambda\end{pmatrix},\qquad J_3(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda & 1 & 0\\[4pt]0 & \lambda & 1\\[4pt]0 & 0 & \lambda\end{pmatrix}.
  • A forma canônica de Jordan de uma matriz (ou operador) é uma matriz em bloco diagonal onde cada bloco é um J_k(\lambda_i) para os autovalores \lambda_i. A soma dos tamanhos dos blocos correspondentes a um autovalor \lambda deve ser igual à multiplicidade algébrica de \lambda (vinda do polinômio característico).
  • Importante: o expoente de (\lambda-\lambda_0) no polinômio minimal é igual ao tamanho do maior bloco de Jordan associado a \lambda_0. Vou usar isso várias vezes abaixo.]

Passo 3

Interpretação do polinômio minimal e suas implicações práticas.
  • Se no polinômio minimal (\lambda-\lambda_0)^{s} aparece com expoente s, isso significa que, na decomposição em blocos de Jordan, o maior bloco associado a \lambda_0 tem tamanho exatamente s.
  • Consequência prática: para cada autovalor \lambda_0 devemos repartir a multiplicidade algébrica a (do característico) em blocos cuja soma de tamanhos é a, com a restrição de que pelo menos um desses blocos tem tamanho s e nenhum bloco pode ter tamanho maior que s.

Passo 4

Aplicação para o autovalor \lambda=2.
  • Dados: multiplicidade algébrica a_{2}=4 (porque (\lambda-2)^4 no característico) e no minimal o expoente é s_{2}=2 (porque (\lambda-2)^2 no minimal).
  • Regras: devemos decompor 4 como soma de inteiros positivos (tamanhos de blocos) tal que nenhum bloco tenha tamanho maior que 2 e pelo menos um bloco tenha exatamente tamanho 2.
  • Partições de 4 com partes \le 2 e ao menos uma parte igual a 2:
    1. 4 = 2+2.
    2. 4 = 2+1+1.
  • A partição 4 = 1+1+1+1 é proibida porque aí todos os blocos teriam tamanho 1, o que implicaria que o maior bloco teria tamanho 1, contradizendo s_{2}=2.
  • Portanto, para \lambda=2 existem exatamente duas possibilidades de configuração de blocos: dois blocos J_2(2), ou um bloco J_2(2) e dois blocos J_1(2).

Passo 5

Aplicação para o autovalor \lambda=5.
  • Dados: multiplicidade algébrica a_{5}=3 (porque (\lambda-5)^3 no característico) e no minimal o expoente é s_{5}=3 (porque (\lambda-5)^3 no minimal).
  • Regras: devemos decompor 3 como soma de inteiros positivos tal que nenhum bloco tenha tamanho maior que 3 e pelo menos um bloco tenha tamanho 3.
  • Como a soma total é 3, a única partição que contém uma parte 3 é 3 sozinho.
  • Assim, para \lambda=5 há apenas uma possibilidade: um único bloco J_3(5).

Passo 6

Combinação das escolhas para formar as formas de Jordan completas.
  • As escolhas para \lambda=2 são duas (ver Passo 4) e para \lambda=5 é uma (Passo 5). Combinando, obtemos exatamente duas formas canônicas de Jordan distintas para todo o operador T.
  • Observações adicionais úteis para a prova:
    • A multiplicidade geométrica de um autovalor (dimensão do autoespaço) é igual ao número de blocos de Jordan associados a esse autovalor.
    • No caso \lambda=2, as duas possibilidades dão multiplicidade geométrica 2 (quando partimos 4=2+2) ou 3 (quando partimos 4=2+1+1).
    • No caso \lambda=5, a multiplicidade geométrica é 1 (um único bloco J_3(5)).
  • Não vou repetir as formas finais aqui; elas estão organizadas de maneira clara na seção de resposta final abaixo.

Resposta

\displaystyle \text{Forma 1: } \operatorname{diag}\big(J_2(2),\,J_2(2),\,J_3(5)\big)
\displaystyle \text{Forma 2: } \operatorname{diag}\big(J_2(2),\,J_1(2),\,J_1(2),\,J_3(5)\big)

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