Questão 1. Escreva a forma canônica de Jordan associada ao operador T: V \longrightarrow V em cada um dos seguintes operadores.
(f) P_{2}(\mathbb{R}) e T\left(a x^{2}+b x+c\right)=a x^{2}+c x+b

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T: P_{2}(\mathbb{R}) \to P_{2}(\mathbb{R}) definido por
T\bigl(a x^{2}+b x+c\bigr)=a x^{2}+c x+b.
O que é pedido: escrever a forma canônica de Jordan associada a T.
Informações relevantes fornecidas:
  • O espaço P_{2}(\mathbb{R}) é o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2 (dimensão 3).
  • A regra de T troca as posições dos coeficientes b e c e mantém a igual.
  • Não foi dada uma base; posso escolher uma base natural para representar T.

Passo 2

Escolho a base natural ordenada
\mathcal{B}=\{x^{2},\,x,\,1\},
e identifico um polinômio p(x)=a x^{2}+b x+c com o vetor de coordenadas (a,b,c) em relação a \mathcal{B}. Vou calcular as imagens dos vetores da base para montar a matriz de T em \mathcal{B}.

Passo 3

Calculo T sobre cada vetor da base:
  • T(x^{2}): aqui a=1,b=0,c=0, então T(x^{2})=1\cdot x^{2}+0\cdot x+0 = x^{2}.Em coordenadas: (1,0,0).
  • T(x): aqui a=0,b=1,c=0, então T(x)=0\cdot x^{2}+0\cdot x+1 = 1.Em coordenadas: (0,0,1).
  • T(1): aqui a=0,b=0,c=1, então T(1)=0\cdot x^{2}+1\cdot x+0 = x.Em coordenadas: (0,1,0).

Passo 4

A matriz de T na base \mathcal{B} é obtida colocando essas colunas na ordem:
A=[T]_{\mathcal{B}}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Calculo o polinômio característico \chi_{T}(\lambda)=\det(A-\lambda I). Temos
A-\lambda I= \begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 0\\[4pt] 0 & -\lambda & 1\\[4pt] 0 & 1 & -\lambda \end{pmatrix}
e, expandindo pelo primeiro pivô,
\chi_{T}(\lambda)=(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\[4pt] 1 & -\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)(\lambda^{2}-1).
Podemos escrever (até sinal) como
\chi_{T}(\lambda)=(\lambda-1)^{2}(\lambda+1).
Portanto os autovalores são \lambda=1 com multiplicidade algébrica 2 e \lambda=-1 com multiplicidade algébrica 1.]

Passo 6

Agora encontro os autovetores (espaços próprios) para cada autovalor.
Para \lambda=1 resolvo (A-I)v=0:
A-I=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
As equações dão -b+c=0 (segunda linha) e b-c=0 (terceira), logo c=b, e não há restrição sobre a. Assim os vetores próprios são da forma
(a,b,c)=(a,b,b)=a(1,0,0)+b(0,1,1).
Em termos de polinômios, dois autovetores independentes são x^{2} (para a=1,b=0) e x+1 (para a=0,b=1). Logo a dimensão do espaço próprio de \lambda=1 é 2, que é igual à sua multiplicidade algébrica.
Para \lambda=-1 resolvo (A+I)v=0:
A+I=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Da primeira linha vem 2a=0\Rightarrow a=0. Da segunda/terceira vem b+c=0\Rightarrow c=-b. Assim os autovetores são múltiplos de (0,1,-1), que corresponde ao polinômio x-1. A multiplicidade geométrica de \lambda=-1 é 1, igual à multiplicidade algébrica.]

Passo 7

Interpretação para a forma de Jordan: para cada autovalor com multiplicidade algébrica m e multiplicidade geométrica g, a decomposição em blocos de Jordan tem g blocos cujo somatório dos tamanhos é m. Aqui:
  • Para \lambda=1: multiplicidade algébrica 2 e geométrica 2 ⇒ dois blocos de Jordan de tamanho 1 (ou seja, blocos 1\times 1 com valor próprio 1).
  • Para \lambda=-1: multiplicidade algébrica 1 e geométrica 1 ⇒ um bloco 1\times 1 com valor próprio -1.
Portanto não há blocos de Jordan maiores que 1\times 1: T é diagonalizável.

Passo 8

A forma canônica de Jordan (matriz de Jordan) é a matriz diagonal cujas entradas são os autovalores, repetidos conforme os blocos. Uma ordenação natural é colocar os dois 1's e depois o -1. Assim a forma de Jordan é
J=\operatorname{diag}(1,1,-1).
Uma base de autovetores que dá essa diagonalização é, por exemplo, \{x^{2},\,x+1,\,x-1\}.

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}]

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