Questão 2. Encontre todas as possíveis formas canônicas de Jordan de cada um dos operadores lineares T: V \rightarrow V cujo polinômio característico e minimal é dado da forma:
(b) polinômio característico p_{T}(\lambda)=(\lambda-2)^{5} e minimal m_{T}(\lambda)=(\lambda-2)^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todas as possíveis formas canônicas de Jordan dos operadores lineares T:V\to V tais que o polinômio característico é
p_{T}(\lambda)=(\lambda-2)^{5}
e o polinômio minimal é
m_{T}(\lambda)=(\lambda-2)^{2}.
Informações relevantes dadas:
  • O único valor próprio é \lambda=2 (pois o polinômio característico é uma potência de \lambda-2).
  • A multiplicidade algébrica de \lambda=2 é 5 (expoente no polinômio característico).
  • O polinômio minimal tem grau 2 em (\lambda-2), isto é, o menor inteiro s tal que (T-2I)^{s}=0 é s=2.

Passo 2

O que é uma forma canônica de Jordan e como representamos blocos de Jordan (aula rápida e prática).
  • Um bloco de Jordan de ordem k associado ao autovalor \lambda é a matriz
J_{k}(\lambda)= \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0\\[4pt] 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0\\[4pt] \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots\\[4pt] 0 & \cdots & 0 & \lambda & 1\\[4pt] 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda \end{pmatrix}_{k\times k}.
  • A forma de Jordan de uma transformação com único autovalor \lambda é uma matriz em bloco diagonal composta por vários J_{k_i}(\lambda), cujos tamanhos k_i somam a dimensão total (aqui 5).
  • O polinômio característico é o produto \prod_i (\lambda-\lambda)^{k_i}=(\lambda-\lambda)^{\sum k_i}. No nosso caso isso deve dar (\lambda-2)^{5}, então a soma dos tamanhos dos blocos é 5.]

Passo 3

Relação entre o polinômio minimal e os tamanhos dos blocos (explicação essencial).
  • Para um autovalor \lambda_0, o polinômio minimal relativo a esse autovalor é (\lambda-\lambda_0)^{s}, onde s é o tamanho do maior bloco de Jordan correspondente a \lambda_0.
  • Intuição simples: se o maior bloco tem tamanho s, então (J_{s}(\lambda_0)-\lambda_0 I)^{s}=0 mas a potência s-1 ainda não é zero naquele bloco; por isso o minimal precisa ter expoente s.
  • No nosso problema, m_{T}(\lambda)=(\lambda-2)^{2}, então o maior bloco de Jordan para \lambda=2 tem tamanho
s=2.

Passo 4

Consequências imediatas para os tamanhos dos blocos (passo combinatório).
  • Como o maior bloco tem tamanho 2, todos os blocos têm tamanho \le 2.
  • Também tem de haver pelo menos um bloco de tamanho 2, caso contrário o maior bloco seria 1 e o minimal seria (\lambda-2)^{1}, contradizendo o dado.
  • Seja a o número de blocos de tamanho 2 e b o número de blocos de tamanho 1. Precisamos de
2a + 1\cdot b = 5,
com a\ge 1 e a,b inteiros não-negativos.
  • Resolvendo a equação:
    • Se a=1 então b=3.
    • Se a=2 então b=1.
    • a=3 daria b=-1, impossível.
  • Logo existem exatamente duas possibilidades de particionamento dos 5 em blocos de tamanhos \le 2 e com pelo menos um 2:
    1. um bloco de tamanho 2 e três blocos de tamanho 1 (caso a=1,b=3);
    2. dois blocos de tamanho 2 e um bloco de tamanho 1 (caso a=2,b=1).

Passo 5

Escrever explicitamente as formas de Jordan correspondentes (mostrar as matrizes blocos).
  • Para o caso com um bloco 2 e três blocos 1: a forma de Jordan é semelhante à matriz bloco diagonal
J = J_{2}(2)\oplus J_{1}(2)\oplus J_{1}(2)\oplus J_{1}(2),
onde
J_{2}(2)=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix},\qquad J_{1}(2)=\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}.
  • Para o caso com dois blocos 2 e um bloco 1: a forma de Jordan é
J = J_{2}(2)\oplus J_{2}(2)\oplus J_{1}(2).]

Passo 6

Verificação rápida (confirmação didática de que os dados batem).
  • Em ambos os casos a soma dos tamanhos é 2+1+1+1=5 ou 2+2+1=5, então o polinômio característico é
p_{T}(\lambda)=(\lambda-2)^{5}.
  • O maior bloco tem tamanho 2 em ambos os casos, portanto o polinômio minimal é
m_{T}(\lambda)=(\lambda-2)^{2},
como exigido. Assim, essas duas formas cobrem todas as possibilidades (até reordenação dos blocos, que não muda a classe de similaridade).

Passo 7

Observações finais e dica prática para a prova (resumindo o método para usar em outro exercício).
  • Regra prática: o expoente do fator (\lambda-\lambda_0) no polinômio minimal é o tamanho do maior bloco de Jordan para \lambda_0. Use isso para limitar os tamanhos de blocos; depois imponha que as soma das ordens dos blocos seja a multiplicidade algébrica (aqui 5) e encontre as partições inteiras compatíveis.
  • Não se esqueça: é preciso haver pelo menos um bloco do tamanho indicado pelo minimal (aqui pelo menos um bloco de tamanho 2).

Resposta

J_{2}(2)\oplus J_{1}(2)\oplus J_{1}(2)\oplus J_{1}(2)
J_{2}(2)\oplus J_{2}(2)\oplus J_{1}(2)

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