Questão 2 - Encontre o volume do sólido cuja base seja a região no plano xy que é delimitada pela parábola y=-x^{2}+4 e pelo eixo x, enquanto o topo do sólido é delimitado pelo plano f(x, y)=x+3. Desenhe a base do sólido.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido cuja base R é a região do plano xy limitada pela parábola
y=-x^2+4
e pelo eixo x, e cujo topo é dado pelo plano
z = f(x,y) = x + 3.
Para resolver, usamos integração dupla de f(x,y) sobre R.

Passo 2

Para desenhar a base R, note que a parábola y=-x^2+4 tem vértice em (0,4) e intercepta o eixo x quando -x^2+4=0, ou seja, em (-2,0) e (2,0). A região R é o “sombreado” abaixo do arco da parábola e acima do eixo x.

Passo 3

Escrevemos R em coordenadas adequadas:
R = \{(x,y)\mid -2 \le x \le 2,\\\ 0 \le y \le -x^2+4\}.
O volume é
V = \iint_{R} (x+3)\,dA.

Passo 4

Escolhendo integrar primeiro em y e depois em x,
V = \int_{x=-2}^{2} \int_{y=0}^{-x^2+4} (x+3)\,dy\,dx.

Passo 5

Integramos em y:
\int_{y=0}^{-x^2+4}(x+3)\,dy = (x+3)\bigl[y\bigr]_{0}^{-x^2+4} = (x+3)(-x^2+4).
Logo
V = \int_{-2}^{2} (x+3)(-x^2+4)\,dx.

Passo 6

Expandindo o integrando,
(x+3)(-x^2+4) = -x^3 -3x^2 +4x +12.
Então
V = \int_{-2}^{2} \bigl(-x^3 -3x^2 +4x +12\bigr)\,dx.
Uma antiderivada é
F(x) = -\tfrac{x^4}{4} - x^3 +2x^2 +12x.
Calculamos
F(2) = -4 -8 +8 +24 = 20, \quad F(-2) = -4 +8 +8 -24 = -12,
portanto
V = F(2) - F(-2) = 20 - (-12) = 32.

Resposta

O volume do sólido é 32.

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