Dada f(x, y)=y \cdot \cos x y, incontre \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
f(x,y) = y \cdot \cos(xy)
e pede a derivada mista \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}. Vamos primeiro calcular \frac{\partial f}{\partial x} e depois derivar esse resultado em relação a y.

Passo 2

Para obter \frac{\partial f}{\partial x}, tratamos y como constante e usamos a regra da cadeia em \cos(xy):
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\cos(xy)\bigr) = -\sin(xy)\cdot \frac{\partial}{\partial x}(xy) = -\sin(xy)\cdot y.
Como f(x,y)=y\cos(xy), multiplicamos por esse fator externo y:
\frac{\partial f}{\partial x} = y \cdot \bigl(-y\,\sin(xy)\bigr) = -y^2 \,\sin(xy).

Passo 3

Agora derivamos \frac{\partial f}{\partial x} = -y^2\sin(xy) em relação a y. Aplicamos regra do produto em -y^2\sin(xy):
  1. Derivada de -y^2 é -2y, multiplicada por \sin(xy)
-2y \,\sin(xy).
  1. Mantendo -y^2 e derivando \sin(xy) em relação a y pela regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial y}\sin(xy) = \cos(xy)\cdot x,
logo essa parte contribui com
-y^2 \cdot \bigl(x\,\cos(xy)\bigr) = -x\,y^2\cos(xy).
Somando as duas parcelas, obtemos
\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} = -2y\,\sin(xy)\;-\;x\,y^2\cos(xy).

Resposta

\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} = -2y\,\sin(xy)\;-\;x\,y^2\cos(xy).

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