Dada x^{2}-y^{2}+\cos x y=0, determine y

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x^{2}-y^{2}+\cos(xy)=0
e pede para “determinar y” em função de x. Como aqui não há solução fechada elementar para isolar y (ela aparece também dentro de \cos(xy)), vamos aplicar o Teorema da Função Implícita e, em particular, obter \tfrac{dy}{dx} que caracteriza localmente y como função de x.

Passo 2

Defina
F(x,y)=x^{2}-y^{2}+\cos(xy)\,.
Para usar o Teorema da Função Implícita precisamos verificar que
\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)\neq0.
Calculando:
\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=-2y-\sin(xy)\,\frac{d(xy)}{dy}=-2y-\sin(xy)\,x.
Desde que
-2y - x\sin(xy)\neq0,
existe localmente uma função y=y(x).

Passo 3

Agora diferenciamos F(x,y(x))=0 em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-y^{2}+\cos(xy)\bigr)=0.
Isso dá
2x -2y\,\frac{dy}{dx} -\sin(xy)\,\frac{d(xy)}{dx}=0.
Como \tfrac{d(xy)}{dx}=y + x\,\tfrac{dy}{dx}, obtemos
2x -2y\,y' -\sin(xy)\bigl(y + x\,y'\bigr)=0.
Agrupando os termos em y':
-2y\,y' - x\sin(xy)\,y' +2x - y\sin(xy)=0
\bigl(-2y - x\sin(xy)\bigr)y' = -2x + y\sin(xy)
\bigl(2y + x\sin(xy)\bigr)y' = 2x - y\sin(xy).

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{2x - y\sin(xy)}{2y + x\sin(xy)}.

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