Questão 1 - Energia no circuito LC (1,0 ponto)
Explique, em palavras, como a energia é armazenada e transferida entre o capacitor e o indutor em um circuito LC ideal. Descreva o que ocorre nos instantes em que a corrente é máxima e nos instantes em que a carga no capacitor é máxima.

Passo 1

O enunciado pede uma explicação, em palavras, sobre como a energia é armazenada e transferida num circuito LC ideal, e que eu descreva o que ocorre nos instantes em que a corrente é máxima e nos instantes em que a carga do capacitor é máxima.
Informações dadas (implícitas no enunciado): o circuito é ideal (sem resistência, logo sem perda de energia), há um indutor com indutância L e um capacitor com capacitância C, e a energia pode oscilar entre esses dois elementos.

Passo 2

O que significa “energia armazenada” em cada elemento (aulas rápidas de física elétrica, sem pressa).
  • Capacitor: armazena energia na forma de campo elétrico entre suas placas. Se a carga no capacitor é Q e sua capacitância é C, a diferença de potencial entre as placas é V=\dfrac{Q}{C}. A energia armazenada no capacitor é
U_C=\frac{Q^2}{2C}=\frac{1}{2}CV^2.
Explanação: Q é a quantidade de carga no capacitor; quanto maior Q (para mesma C), maior a tensão V e maior a energia no campo elétrico.
  • Indutor: armazena energia na forma de campo magnético criado pela corrente que passa por ele. Se a corrente é I e a indutância é L, a energia no indutor é
U_L=\frac{1}{2}L I^2.
Explanação: I é a intensidade de corrente; quanto maior I, mais intenso o campo magnético e maior a energia armazenada.

Passo 3

Relação entre carga e corrente, e equação do movimento (o porquê da oscilação).
  • Relação básica: a corrente é a taxa de variação da carga no capacitor:
I=\frac{dQ}{dt}.
Explicação simples: se o capacitor perde carga, há corrente; se ganha, há corrente no sentido oposto.
  • Lei das malhas (para o circuito LC ideal) dá a equação
L\frac{dI}{dt}+ \frac{Q}{C}=0.
Substituindo I=\dfrac{dQ}{dt} obtemos a equação para Q(t):
L\frac{d^2Q}{dt^2}+\frac{Q}{C}=0.
Essa é uma equação diferencial de oscilador harmônico simples. Solução típica (escolhendo fase conveniente) é
Q(t)=Q_0\cos(\omega t), \qquad \omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}.
Daí a corrente é a derivada:
I(t)=\frac{dQ}{dt}=-\omega Q_0\sin(\omega t).
Interpretação: Q e I oscilam no tempo; I está defasada de 90^\circ (ou \pi/2 rad) em relação a Q.

Passo 4

Conservação de energia e como ela se transfere (contas mínimas, fiáveis para a prova).
  • Energia total do circuito (soma das duas energias) é constante porque o circuito é ideal (sem resistência):
U_{\text{total}}=U_C+U_L=\frac{Q^2}{2C}+\frac{1}{2}L I^2=\text{constante}.
  • Se tomarmos a amplitude Q_0 (valor máximo de carga), no instante em que Q=Q_0 temos I=0 (porque derivada da cos é zero). A energia total então é
U_{\text{total}}=\frac{Q_0^2}{2C}.
  • No instante em que Q=0 (capacitor descarregado), a corrente atinge seu valor máximo em módulo |I_{\max}|=\omega Q_0. A energia então está inteiramente no indutor:
U_{\text{total}}=\frac{1}{2}L I_{\max}^2=\frac{1}{2}L(\omega Q_0)^2=\frac{1}{2}L\frac{Q_0^2}{LC}=\frac{Q_0^2}{2C},
confirmação matemática de que a energia foi transferida completamente do capacitor para o indutor. Essas manipulações mostram que a energia total permanece igual em ambos os instantes (consistência).

Passo 5

Descrição física, passo a passo, do ciclo de transferência de energia (como responder na prova, em palavras claras e sem jargão ruim).
  • Começo: suponha que inicialmente o capacitor esteja carregado com Q_0 e não haja corrente ( I=0). Toda a energia está no capacitor como campo elétrico. O indutor não tem energia nesse instante.
  • Descarregamento inicial: o capacitor começa a se descarregar; cargas se movem, aparece corrente. À medida que Q diminui, U_C=\dfrac{Q^2}{2C} diminui. Essa energia “liberada” aparece como energia magnética no indutor, ou seja, U_L=\dfrac{1}{2}LI^2 cresce.
  • Meio do caminho: quando o capacitor se desconecta momentaneamente de diferença de potencial ( Q=0), a corrente é máxima e toda a energia está no indutor. Neste instante o campo elétrico é nulo e o campo magnético é máximo.
  • Reversão: a energia magnética no indutor faz a corrente continuar (por inércia do campo magnético), carregando o capacitor com polaridade oposta. A corrente diminui enquanto o capacitor vai acumulando carga de sinal oposto; a energia vai transferindo do indutor de volta para o capacitor.
  • Ciclo completo: o capacitor atinge carga máxima oposta ( Q=-Q_0), a corrente passa por zero, e a energia está novamente toda no capacitor (com sinal invertido da carga). O processo repete-se, gerando oscilações contínuas de energia entre as duas formas.

Passo 6

Observações úteis para a prova (resumindo em “tudo o que preciso lembrar” e um truque de memorização).
  • Fatos-chaves para decorar:
    • Energia total constante: \dfrac{Q^2}{2C}+\dfrac{1}{2}L I^2= constante.
    • Relação corrente–carga: I=\dfrac{dQ}{dt}.
    • Defasagem: I está 90^\circ fora de fase com Q (quando Q é máximo, I=0; quando I é máximo, Q=0).
    • Frequência natural: \omega=1/\sqrt{LC}.
  • Truque de memorização (fácil e meio divertido): pense no capacitor como uma mola carregada de “energia elétrica” e no indutor como a massa que ganha velocidade (energia cinética). A energia troca entre “mola” (capacitor) e “velocidade” (indutor) exatamente como num pêndulo sem atrito.
  • Incentivo final: se decorar as fórmulas de energia e a relação I=dQ/dt, você já consegue descrever perfeitamente o que ocorre nos instantes pedidos e fazer qualquer pequeno cálculo relacionado. Dá pra tirar isso na prova — respira fundo, lembra da analogia mola-massa e manda ver.

Resposta

A energia oscila entre o capacitor e o indutor sem perdas, com a energia total
\dfrac{Q^2}{2C}+\dfrac{1}{2}L I^2 constante.
Quando a carga no capacitor é máxima ( Q=\pm Q_0) a corrente é nula ( I=0) e toda a energia está no capacitor, U=\dfrac{Q_0^2}{2C}.
Quando a corrente é máxima ( |I|=I_{\max}=\omega Q_0 com \omega=1/\sqrt{LC}) a carga do capacitor passa por zero ( Q=0) e toda a energia está no indutor, U=\dfrac{1}{2}L I_{\max}^2, sendo esses dois valores iguais pela conservação de energia.

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