Questão 2: Em um solenoide com N espiras, percorrido por uma corrente i produz no seu interior um campo magnético \vec{B} com módulo dado por B=\frac{\mu_{0} N i}{d} (fora dele o módulo é B \approx 0, onde d é o comprimento do solenoide. Considere agora que a corrente varia com o tempo. Mostre que o módulo do vetor campo elétrico induzido é:
E \propto r dentro do solenoide.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
  • Dentro do solenoide o módulo do campo magnético é B=\dfrac{\mu_{0} N i}{d}, onde:
    • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo,
    • N é o número de espiras,
    • i=i(t) é a corrente (agora dependente do tempo),
    • d é o comprimento do solenoide.
  • Fora do solenoide o campo é B\approx 0.
  • A corrente varia com o tempo, isto é i=i(t).
  • O que o exercício pede: mostrar que o módulo do campo elétrico induzido \vec{E} dentro do solenoide depende linearmente de r, isto é E\propto r para um ponto a distância r do eixo (com r dentro do raio do solenoide).

Passo 2

Ferramenta física que vamos usar (afinal é a fórmula que liga campo elétrico induzido e variação do fluxo magnético):
\oint_{\mathcal{C}} \vec{E}\cdot d\vec{\ell} = -\dfrac{d\Phi_{B}}{dt},
onde:
  • \oint_{\mathcal{C}} \vec{E}\cdot d\vec{\ell} é a integral de linha do campo elétrico ao longo de uma curva fechada \mathcal{C},
  • \Phi_{B} é o fluxo magnético através da superfície delimitada por \mathcal{C},
  • o sinal negativo expressa a lei de Lenz (o campo induzido se opõe à variação do fluxo).
    Explicando em palavras: quando o fluxo magnético através de uma área muda com o tempo, aparece uma força eletromotriz ao redor do contorno dessa área, que corresponde à integral do campo elétrico ao longo desse contorno. Essa é a lei de Faraday para indução.

Passo 3

Escolha do caminho de integração e simetria:
  • Pelo enunciado o solenoide é cilíndrico e os campos são axissimétricos. Portanto, uma boa curva \mathcal{C} é um círculo de raio r centrado no eixo do solenoide (com r menor que o raio do solenoide, para ficar “dentro”).
  • Por simetria, o campo elétrico induzido \vec{E} no interior será tangencial ao círculo e terá módulo constante ao longo desse círculo. Ou seja, \vec{E} aponta na direção \hat{\varphi} e |\vec{E}| depende só de r.
  • Assim a integral de linha fica simples: \oint_{\mathcal{C}} \vec{E}\cdot d\vec{\ell} = E(r)\cdot (2\pi r), onde E(r) é o módulo do campo elétrico no raio r.

Passo 4

Cálculo do fluxo magnético através do círculo de raio r (dentro do solenoide):
  • Como dentro do solenoide o campo magnético é praticamente uniforme e paralelo ao eixo, o fluxo magnético através da área do círculo de raio r é
\Phi_{B}(t) = B(t)\cdot \text{área} = B(t)\cdot \pi r^{2}.á
  • Note que aqui peguei a expressão de B(t) do enunciado e o fato de que a área do círculo vale \pi r^{2}.

Passo 5

Aplicando Faraday e fazendo as contas:
  • Pela regra do Passo 3 a integral de linha é E(r)\cdot 2\pi r.
  • Pela regra do Passo 4 o fluxo é \Phi_{B}(t)=\pi r^{2} B(t).
  • Aplicando a lei de Faraday:
E(r)\cdot 2\pi r = -\dfrac{d}{dt}\bigl(\pi r^{2} B(t)\bigr).
  • A derivada temporal age apenas sobre B(t), pois r é fixo para o caminho escolhido. Assim:
E(r)\cdot 2\pi r = -\pi r^{2}\,\dfrac{dB}{dt}.
  • Simplificando \pi e dividindo por 2\pi r:
E(r) = -\dfrac{r}{2}\,\dfrac{dB}{dt}.

Passo 6

Expressão final usando a relação entre B e i e conclusão sobre proporcionalidade:
  • Do enunciado B(t)=\dfrac{\mu_{0} N}{d}\,i(t). Portanto
\dfrac{dB}{dt} = \dfrac{\mu_{0} N}{d}\,\dfrac{di}{dt}.
  • Substituindo em E(r) do passo anterior:
E(r) = -\dfrac{r}{2}\,\dfrac{\mu_{0} N}{d}\,\dfrac{di}{dt}.
  • Desta expressão vê-se claramente que, para um dado \dfrac{di}{dt}, o módulo E(r) cresce linearmente com r. Em outras palavras,
E(r) \propto r \quad\text{(dentro do solenoide)}.

Passo 7

Comentário físico rápido e motivador:
  • O sinal negativo indica a direção do campo elétrico (lei de Lenz): o campo induzido tende a criar uma corrente que se opõe à variação do fluxo. Mas a pergunta pedia apenas a dependência com r, então a parte importante é a proporcionalidade linear.
  • Observação extra útil para prova: fora do solenoide, para um círculo de raio r maior que o raio do solenoide, o fluxo usa a área efetiva do solenoide (constante) e a integral dá E\propto 1/r. Portanto dentro: E\propto r; fora: E\propto 1/r.

Resposta

E(r) = -\dfrac{r}{2}\,\dfrac{dB}{dt} = -\dfrac{r}{2}\,\dfrac{\mu_{0} N}{d}\,\dfrac{di}{dt}\quad\Rightarrow\quad E\propto r \text{ (dentro do solenoide)}.

Exercícios relacionados