Questão 2: Em um solenoide com
espiras, percorrido por uma corrente
produz no seu interior um campo magnético
com módulo dado por
(fora dele o módulo é
, onde
é o comprimento do solenoide. Considere agora que a corrente varia com o tempo. Mostre que o módulo do vetor campo elétrico induzido é:
dentro do solenoide.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
- Dentro do solenoide o módulo do campo magnético é
, onde: -
é a permeabilidade do vácuo, -
é o número de espiras, -
é a corrente (agora dependente do tempo), -
é o comprimento do solenoide.
-
- Fora do solenoide o campo é
. - A corrente varia com o tempo, isto é
. - O que o exercício pede: mostrar que o módulo do campo elétrico induzido
dentro do solenoide depende linearmente de , isto é para um ponto a distância do eixo (com dentro do raio do solenoide).
Passo 2
Ferramenta física que vamos usar (afinal é a fórmula que liga campo elétrico induzido e variação do fluxo magnético):
onde:
-
é a integral de linha do campo elétrico ao longo de uma curva fechada , -
é o fluxo magnético através da superfície delimitada por , - o sinal negativo expressa a lei de Lenz (o campo induzido se opõe à variação do fluxo).
Explicando em palavras: quando o fluxo magnético através de uma área muda com o tempo, aparece uma força eletromotriz ao redor do contorno dessa área, que corresponde à integral do campo elétrico ao longo desse contorno. Essa é a lei de Faraday para indução.
Passo 3
Escolha do caminho de integração e simetria:
- Pelo enunciado o solenoide é cilíndrico e os campos são axissimétricos. Portanto, uma boa curva
é um círculo de raio centrado no eixo do solenoide (com menor que o raio do solenoide, para ficar “dentro”). - Por simetria, o campo elétrico induzido
no interior será tangencial ao círculo e terá módulo constante ao longo desse círculo. Ou seja, aponta na direção e depende só de . - Assim a integral de linha fica simples:
, onde é o módulo do campo elétrico no raio .
Passo 4
Cálculo do fluxo magnético através do círculo de raio
(dentro do solenoide):
- Como dentro do solenoide o campo magnético é praticamente uniforme e paralelo ao eixo, o fluxo magnético através da área do círculo de raio
é
- Note que aqui peguei a expressão de
do enunciado e o fato de que a área do círculo vale .
Passo 5
Aplicando Faraday e fazendo as contas:
- Pela regra do Passo 3 a integral de linha é
. - Pela regra do Passo 4 o fluxo é
. - Aplicando a lei de Faraday:
- A derivada temporal age apenas sobre
, pois é fixo para o caminho escolhido. Assim:
- Simplificando
e dividindo por :
Passo 6
Expressão final usando a relação entre
e
e conclusão sobre proporcionalidade:
- Do enunciado
. Portanto
- Substituindo em
do passo anterior:
- Desta expressão vê-se claramente que, para um dado
, o módulo cresce linearmente com . Em outras palavras,
Passo 7
Comentário físico rápido e motivador:
- O sinal negativo indica a direção do campo elétrico (lei de Lenz): o campo induzido tende a criar uma corrente que se opõe à variação do fluxo. Mas a pergunta pedia apenas a dependência com
, então a parte importante é a proporcionalidade linear. - Observação extra útil para prova: fora do solenoide, para um círculo de raio
maior que o raio do solenoide, o fluxo usa a área efetiva do solenoide (constante) e a integral dá . Portanto dentro: ; fora: .