Questão 2: Em um solenoide com N espiras, percorrido por uma corrente i produz no seu interior um campo magnético \vec{B} com módulo dado por B=\frac{\mu_{0} N i}{d} (fora dele o módulo é B \approx 0, onde d é o comprimento do solenoide. Considere agora que a corrente varia com o tempo. Mostre que o módulo do vetor campo elétrico induzido é:
E \propto \frac{1}{r} fora do solenoide.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
  • Um solenoide de comprimento d tem N espiras e, quando percorrido por uma corrente i, produz no seu interior um campo magnético com módulo dado por
B=\frac{\mu_{0} N i}{d}.
  • Fora do solenoide o módulo do campo magnético é aproximadamente B\approx0.
  • A corrente i varia com o tempo (ou seja, i=i(t)), portanto B=B(t).
  • O que se pede: mostrar que o módulo do vetor campo elétrico induzido fora do solenoide depende de r como E\propto\frac{1}{r}, onde r é a distância radial ao eixo do solenoide (consideramos r no plano perpendicular ao eixo).
Observação necessária para a resolução (definição geométrica): chamar de R o raio do solenoide (raio da seção transversal onde existe B). Na resolução vamos considerar um caminho circular de raio \displaystyle r centrado no eixo do solenoide, com r>R (ou seja, fora do solenoide).

Passo 2

Ideia física e simetria — por que escolher um círculo:
  • Como o solenoide é cilíndrico e o problema é simétrico em torno do eixo, o campo elétrico induzido \vec{E} gerado por uma variação de fluxo magnético tende a ser tangencial às circunferências concêntricas ao eixo e de mesma magnitude em todos os pontos de uma dada circunferência de raio r.
  • Portanto, ao calcular a integral de linha \oint \vec{E}\cdot d\vec{\ell} sobre uma circunferência de raio r centrada no eixo, podemos escrever facilmente essa integral como o produto da magnitude E(r) pela circunferência 2\pi r.
    Esta escolha usa apenas a razão de simetria cilíndrica: nada depende do ângulo azimutal.

Passo 3

Enunciado da lei que conecta circulação de \vec{E} e variação do fluxo magnético (forma integral):
  • A lei fundamental que vamos usar (em linguagem operacional) diz que a circulação do campo elétrico ao longo de um contorno fechado é igual à negativa da taxa de variação temporal do fluxo magnético atravessando uma superfície limitada por esse contorno. Escrevendo:
\oint_{\mathcal{C}} \vec{E}\cdot d\vec{\ell} = -\frac{d\Phi_B}{dt},
onde \Phi_B é o fluxo magnético através de qualquer superfície cuja fronteira seja \mathcal{C}.
  • Aqui \Phi_B é definido por:
\Phi_B = \int_{S} \vec{B}\cdot d\vec{A},
e d\vec{A} tem direção normal à superfície escolhida (no nosso caso, tomamos a superfície plana do disco centrado no eixo).

Passo 4

Calcular o fluxo magnético atravessando a circunferência de raio r>R:
  • Para r>R o campo magnético está confinado ao interior do solenoide (dado: fora B\approx0). Assim, a contribuição ao fluxo através do disco de raio r vem somente da região do disco que está sobre o interior do solenoide, isto é, da área \pi R^2.
  • Dentro do solenoide B é praticamente uniforme e vale B(t). Então o fluxo magnético através da superfície delimitada pela circunferência de raio r (com r>R) é
\Phi_B(t) = B(t)\times \text{(área do núcleo do solenoide)} = B(t)\,\pi R^2.áú
  • Observação: não se usa a área \pi r^2 porque fora do solenoide B\approx0; por isso apenas a área do próprio solenoide contribui.

Passo 5

Aplicar a lei da Passo 3 e explorar a simetria para escrever a integral de linha:
  • Pela simetria, sobre a circunferência de raio r o campo elétrico induzido tem módulo constante E(r) e é tangencial, logo
\oint_{\mathcal{C}} \vec{E}\cdot d\vec{\ell} = E(r)\cdot 2\pi r.
  • Substituindo na lei de Faraday (Passo 3) e usando o fluxo do Passo 4:
E(r)\cdot 2\pi r = -\frac{d}{dt}\bigl(B(t)\,\pi R^2\bigr).

Passo 6

Isolar E(r) e interpretar o sinal (módulo):
  • Resolvendo para E(r) obtemos
E(r) = -\frac{1}{2\pi r}\,\frac{d}{dt}\bigl(B(t)\,\pi R^2\bigr).
  • Tirando a constante \pi R^2 para fora da derivada:
E(r) = -\frac{\pi R^2}{2\pi r}\,\frac{dB(t)}{dt} = -\frac{R^2}{2r}\,\frac{dB(t)}{dt}.
  • Como o enunciado pede o módulo do campo elétrico induzido, tomamos o valor absoluto (ou simplesmente a dependência em r):
\boxed{\,E(r)=\frac{R^2}{2r}\,\left|\frac{dB}{dt}\right|\,.}
Dessa expressão fica claro que E(r)\propto\frac{1}{r} para r>R.

Passo 7

Substituir B pela expressão fornecida (mostrar a dependência em di/dt):
  • Como foi dado que B(t)=\dfrac{\mu_0 N}{d}\,i(t), temos
\frac{dB}{dt}=\frac{\mu_0 N}{d}\,\frac{di}{dt}.
  • Substituindo em E(r):
E(r)=\frac{R^2}{2r}\left|\frac{\mu_0 N}{d}\,\frac{di}{dt}\right| =\frac{\mu_0 N R^2}{2 d\, r}\left|\frac{di}{dt}\right|.
  • Novamente, isto mostra explicitamente a dependência E(r)\propto\frac{1}{r} para r>R.

Passo 8

Comentário final didático e checagem intuitiva:
  • Intuitivamente: para r>R a circulação de \vec{E} é proporcional à área interna do solenoide (constante), então quanto maior o raio r do caminho escolhido, maior o comprimento do caminho (proporcional a r), e assim a intensidade tangencial E(r) deve cair como 1/r para manter a mesma circulação.
  • Checagem rápida: se fizéssemos r<R (dentro do solenoide), o fluxo através do disco de raio r seria B(t)\pi r^2 e a mesma rotina leva a E(r)\propto r para r<R — comportamento diferente dentro/fora, o que é consistente com a forma como o fluxo varia com r.

Resposta

E(r)=\frac{R^2}{2r}\left|\frac{dB}{dt}\right|=\frac{\mu_0 N R^2}{2 d\, r}\left|\frac{di}{dt}\right|\quad\text{(para }r>R\text{)},
portanto \;E(r)\propto\frac{1}{r} fora do solenoide.

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