Questão 7. A energia de ionização é parâmetro importante para se compreender as propriedades dos elementos químicos.
A 1^{\text {a }} energia de ionização do potássio é 418,8 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}. Qual o comprimento de onda, em nanômetros, do fóton necessário para promover a ionização do átomo de potássio?

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que ele dá. O enunciado informa a primeira energia de ionização do potássio:
  • Energia de ionização: \,418,8\\ \mathrm{kJ/mol}.
A pergunta é: qual o comprimento de onda, em nanômetros, do fóton necessário para promover essa ionização? Ou seja, qual o comprimento de onda de um fóton cuja energia por fóton é igual à energia de ionização de um átomo de potássio.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • A energia de um fóton é dada por \,E_{\text{fóton}} = \dfrac{h c}{\lambda}ó, onde:
    • \,h é a constante de Planck ( \,\mathrm{J\cdot s}),
    • \,c é a velocidade da luz no vácuo ( \,\mathrm{m/s}),
    • \,\lambda é o comprimento de onda do fóton (em \,\mathrm{m}),
    • \,E_{\text{fóton}}ó é a energia de UM fóton (em \,\mathrm{J}).
  • A energia dada no enunciado é por mol de átomos, ou seja \,E_{\text{mol}} em \,\mathrm{J/mol}. Para usar a fórmula do fóton precisamos da energia de UM fóton. Relacionamos: E_{\text{fóton}}=\frac{E_{\text{mol}}}{N_A},óonde \,N_A é o número de Avogadro ( \,\mathrm{mol^{-1}}).
  • Combinando as duas relações obtemos a fórmula direta para o comprimento de onda: \lambda=\frac{h c N_A}{E_{\text{mol}}}.Aqui cada símbolo já foi explicado: \lambda será em metros se usarmos \,h em \mathrm{J\cdot s}, \,c em \mathrm{m/s} e \,E_{\text{mol}} em \mathrm{J/mol}.

Passo 3

Listar os valores numéricos das constantes que vamos usar (pegando o valor padrão aceito):
  • \,h = 6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
  • \,c = 2,99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • \,N_A = 6,02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
    Converter a energia dada para unidades do SI (joules por mol):
  • \,E_{\text{mol}} = 418,8\\ \mathrm{kJ/mol} = 418,8\times10^{3}\\ \mathrm{J/mol}.

Passo 4

Calcular o numerador \,h c N_A passo a passo (mostrando os valores intermediários):
  • Primeiro \,h c: h c = \left(6,62607015\times10^{-34}\right)\left(2,99792458\times10^{8}\right) = 1,98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
  • Agora multiplicar por \,N_A: h c N_A = \left(1,98644586\times10^{-25}\right)\left(6,02214076\times10^{23}\right) = 1,196266\times10^{-1}\\ \mathrm{J\cdot m}.(ou seja \,h c N_A \approx 0,1196266\\ \mathrm{J\cdot m}.)

Passo 5

Calcular \lambda usando a fórmula \displaystyle \lambda=\frac{h c N_A}{E_{\text{mol}}}:
  • Substituindo os valores: \lambda=\frac{1,196266\times10^{-1}\\ \mathrm{J\cdot m}}{418,8\times10^{3}\\ \mathrm{J/mol}}.
  • Fazer a divisão: \lambda \approx 2,857\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Converter para nanômetros e interpretar:
  • 1\\ \mathrm{m} = 10^{9}\\ \mathrm{nm}, logo \lambda \approx 2,857\times10^{-7}\\ \mathrm{m} = 285,7\\ \mathrm{nm}.
  • Comentário rápido e motivador: esse comprimento de onda está na região ultravioleta do espectro eletromagnético — ou seja, o fóton necessário para ionizar o potássio é ultravioleta. Boa! Você já entendeu a ideia: transformar energia por mol em energia por fóton e usar E=hc/\lambda.

Resposta

285,7\\ \mathrm{nm}

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