Questão 6

energia potencial elástica de 2 J quando o bloco está em x=+2,0 \mathrm{~cm}. (a) Determine a energia cinética do bloco quando ele está em x=0. Determine a energia potencial elástica da mola quando o bloco está em: (b) x=-2,0 \mathrm{~cm}; (c) x=-A ? (d) x=-1,0 \mathrm{~cm}. (e) Determine a amplitude do movimento.

Passo 1

O enunciado descreve um bloco preso a uma mola ideal, liberado do repouso em x=+2{,}0\\ \mathrm{cm}. Nesse ponto a energia potencial elástica vale 2\\ \mathrm{J}. Vamos usar conservação da energia mecânica, isto é,
E = K + U_e = \text{constante},
e a expressão da energia potencial elástica
U_e(x)=\tfrac12\,k\,x^2.

Passo 2

Primeiro convertemos x=2{,}0\\ \mathrm{cm} para metros: x=0{,}02\\ \mathrm{m}. Como em x=0{,}02\\ \mathrm{m} temos U_e=2\\ \mathrm{J} e o bloco parte do repouso K=0, segue que
2 = \tfrac12\,k\,(0{,}02)^2 \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{4}{0{,}0004} = 10\,000\\ \mathrm{N/m}.
A energia mecânica total E é então
E = U_e + K = 2\\ \mathrm{J}.

Passo 3

(a) No ponto x=0 a mola não está deformada, logo U_e(0)=0. Assim
K(0) = E - U_e(0) = 2\\ \mathrm{J} - 0 = 2\\ \mathrm{J}.

Passo 4

(b) Em x=-2{,}0\\ \mathrm{cm}=-0{,}02\\ \mathrm{m} a energia potencial elástica é
U_e(-0{,}02) = \tfrac12\,k\,(0{,}02)^2 = 2\\ \mathrm{J}.

Passo 5

(c) No extremo oposto x=-A a energia totalmente é potencial, então
U_e(-A)=E=2\\ \mathrm{J}.

Passo 6

(d) Em x=-1{,}0\\ \mathrm{cm}=-0{,}01\\ \mathrm{m} calculamos
U_e(-0{,}01) = \tfrac12\,k\,(0{,}01)^2 = \tfrac12\cdot10\,000\cdot0{,}0001 =0{,}5\\ \mathrm{J}.

Passo 7

(e) A amplitude A satisfaz
E = \tfrac12\,k\,A^2 \quad\Longrightarrow\quad A = \sqrt{\frac{2E}{k}} = \sqrt{\frac{2\cdot2}{10\,000}} =0{,}02\\ \mathrm{m}=2{,}0\\ \mathrm{cm}.

Resposta

(a) K(0)=2\\ \mathrm{J}.
(b) U_e(-2{,}0\\ \mathrm{cm})=2\\ \mathrm{J}.
(c) U_e(-A)=2\\ \mathrm{J}.
(d) U_e(-1{,}0\\ \mathrm{cm})=0{,}5\\ \mathrm{J}.
(e) A=2{,}0\\ \mathrm{cm}.

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