Num sistema massa-mola amortecido, a massa é 1,50 \mathrm{~kg} e a constante elástica é 8,00 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. A força de amortecimento é dada por -b(d x / d t), onde b=230 \mathrm{~g} / \mathrm{s}. O bloco é puxado 12,0 \mathrm{~cm} para baixo e liberado. Determine: (a) o tempo necessário para que a amplitude das oscilações diminua para um terço do valor inicial; (b) o tempo necessário para que a energia diminua de 90 \% do valor inicial.

Passo 1

O enunciado descreve um oscilador massa-mola amortecido com massa m=1,50\\ \mathrm{kg}, constante elástica k=8,00\\ \mathrm{N/m} e coeficiente de amortecimento b=230\\ \mathrm{g/s}=0,230\\ \mathrm{kg/s}. O bloco é deslocado A_0=12{,}0\\ \mathrm{cm} e liberado sem velocidade inicial. Como b^2<4mk, estamos no regime subamortecido, em que a amplitude decai segundo
A(t)=A_0\,e^{-\frac{b}{2m}t}
e a energia oscila em torno de zero com envoltória
E(t)=E_0\,e^{-\frac{b}{m}t}\,.
Precisamos achar:
(a) o tempo t_a para A(t_a)=A_0/3;
(b) o tempo t_E para E(t_E)=0{,}10\,E_0 (isto é, perder 90% da energia).

Passo 2

Calcular o coeficiente de amortecimento na exponencial da amplitude:
\gamma=\frac{b}{2m}=\frac{0,230}{2\cdot1,50}=\frac{0,230}{3{,}00}=0{,}07667\\ \mathrm{s^{-1}}.
Isso significa que a amplitude decai como e^{-0{,}07667\,t} e a energia como e^{-2\gamma t}=e^{-\frac{b}{m}t}.

Passo 3

Para achar t_a tal que A(t_a)=A_0/3, escrevemos
\frac{A(t_a)}{A_0} =e^{-\gamma\,t_a} =\frac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad -\gamma\,t_a=\ln\!\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)=-\ln3
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t_a=\frac{\ln3}{\gamma} =\frac{\ln3}{0{,}07667} \approx\frac{1{,}0986}{0{,}07667} \approx14{,}3\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Para t_E, queremos E(t_E)=0{,}10\,E_0. Como E/E_0=e^{-\,\frac{b}{m}t}, definimos
\frac{E(t_E)}{E_0} =e^{-\frac{b}{m}t_E} =0{,}10 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{b}{m}\,t_E=\ln(0{,}10)=-\ln10
Portanto
t_E=\frac{m}{b}\,\ln10 =\frac{1{,}50}{0{,}230}\times2{,}3026 \approx6{,}5217\times2{,}3026 \approx15{,}0\\ \mathrm{s}.

Resposta

(a) t_a\approx14{,}3\\ \mathrm{s}
(b) t_E\approx15{,}0\\ \mathrm{s}

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