Um sistema mecânico de 200 kg é colocado sobre bases de borracha que defletem 2 mm com sigma peso do sistema.
a) determine o movimento vertical do sistema x(t) se o mesmo é submetido a um esforço externo F(t)=200 cos (15 t). Considere sigma sistema sem amortecimento e com as condições iniciais. x(0)=0 e v (0)=0,1 m / s.
b) encontre a resposta x(t) na ressonância considerando uma força externa com a mesma amplitude do caso anterior, e considere as mesmas condições iniciais.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa–mola não amortecido com massa m=200 kg e rigidez k tal que a borracha deflete de<a=2 mm sob o peso mg. Queremos resolver a equação
m,x''(t)+k,x(t)=F0cos(Omega t)
para (a) Omega=15 rad/s e (b) Omega=omega0 (ressonância), com condições iniciais x(0)=0 e x'(0)=v0=0,1 m/s.

Passo 2

Calcular k usando a relação estática k,de<a = m,g. Como de<a=2times10^-3 m e g=9,81 m/s^2,
k = m,gde<a = 200cdot9,812times10^-3 =9,81times10^5 N/m

Passo 3

A frequência natural é
omega0 = raizkm = raiz9,81times10^5200 =raiz4,905times10^3 approx70,04 rad/s

Passo 4

(a) Para Omega=15 rad/s (não ressonante), a solução geral é
x(t)=xh(t)+xp(t),
onde
xh(t)=Ccos(omega0 t)+Dsin(omega0 t),
xp(t)=F0/momega0^2-Omega^2cos(Omega t)
Aqui F0=200 N e F0/m=1 N/kg.

Passo 5

Calcular a amplitude do regime forçado
X=1omega0^2-Omega^2 =1(70,04)^2-15^2 =14,905-225 =14,680 approx2,14times10^-4 m
Impondo x(0)=0
C + X = 0Rightarrow C=-X,
e x'(0)=v0
x'(t)=-Comega0sin(omega0t)+Domega0cos(omega0t)-X,Omegasin(Omega t),
avaliando em t=0:
D,omega0 = v0 Rightarrow D=v0omega0 =0,170,04approx1,43times10^-3

Passo 6

Portanto, a solução para (a) é
x(t) =-Xcos(omega0t) +v0omega0sin(omega0t) +Xcos(Omega t),
com omega0approx70,04, Omega=15, X=1/4680 e v0=0,1.

Passo 7

(b) Em ressonância Omega=omega0, o particular é do tipo
xp,res(t) =F0/m2,omega0;t;sin(omega0t) =12,omega0,tsin(omega0t)
A solução geral é
x(t)=Ccos(omega0t)+Dsin(omega0t) +t2,omega0sin(omega0t)
Impondo x(0)=0 Rightarrow C=0, e x'(0)=v0 D=v0/omega0 como antes.

Passo 8

Logo, na ressonância
x(t) =v0omega0sin(omega0t) +t2,omega0sin(omega0t)
Substituindo valores numéricos omega0approx70,04 e v0=0,1,
x(t) =l(0,170,04+t2cdot70,04r)sin(70,04,t)

Resposta

(a) x(t)=-14680cos(70,04,t)+0,170,04sin(70,04,t)+14680cos(15,t).\n(b) x(t)=(0,170,04+t2cdot70,04)sin(70,04,t).

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