Questão 5: Enuncie o Teorema de Stokes. Apresente um exemplo. (Vale 1,0 pt.)
Passo 1
O enunciado pede para enunciar o Teorema de Stokes e dar um exemplo. O conteúdo é cálculo vetorial, mais precisamente a relação entre a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial e a integral de linha desse campo ao longo da fronteira da superfície.
Passo 2
Enunciado formal do Teorema de Stokes:
Seja uma superfície suave orientada com vetor normal unitário
e
sua fronteira, orientada positivamente segundo a regra da mão direita. Para um campo vetorial
com derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de
, vale
Seja
Passo 3
Explicação dos termos:
– é o rotacional de
.
– é a orientação (sentido) da superfície
.
– A orientação de é determinada pela regra da mão direita: se os dedos apontam na direção de
, o polegar indica
.
–
–
– A orientação de
Passo 4
Escolha do exemplo:
Defina o campo
e a superfície como o disco unitário no plano
, isto é,
Defina o campo
e a superfície
orientado para cima (
). A fronteira
é o círculo unitário
, parametrizado por
,
.
Passo 5
Cálculo da integral de superfície (lado esquerdo):
O rotacional é
O rotacional é
Logo
Passo 6
Cálculo da integral de linha (lado direito):
Temos e
. Então
Temos
Passo 7
Conclusão do exemplo:
Ambas as integrais dão , confirmando o Teorema de Stokes para este caso.
Ambas as integrais dão
Resposta
O Teorema de Stokes afirma que, para uma superfície suave
com fronteira
orientada positivamente, e para um campo vetorial
com derivadas contínuas, vale
Exemplo: com
e
o disco unitário em
, ambas as integrais valem
.