Questão 5: Enuncie o Teorema de Stokes. Apresente um exemplo. (Vale 1,0 pt.)

Passo 1

O enunciado pede para enunciar o Teorema de Stokes e dar um exemplo. O conteúdo é cálculo vetorial, mais precisamente a relação entre a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial e a integral de linha desse campo ao longo da fronteira da superfície.

Passo 2

Enunciado formal do Teorema de Stokes:
Seja S uma superfície suave orientada com vetor normal unitário \mathbf{n} e \partial S sua fronteira, orientada positivamente segundo a regra da mão direita. Para um campo vetorial \mathbf{F} com derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de S, vale
\iint_{S} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\,dS = \oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}.

Passo 3

Explicação dos termos:
\nabla \times \mathbf{F} é o rotacional de \mathbf{F}.
\mathbf{n} é a orientação (sentido) da superfície S.
– A orientação de \partial S é determinada pela regra da mão direita: se os dedos apontam na direção de \partial S, o polegar indica \mathbf{n}.

Passo 4

Escolha do exemplo:
Defina o campo
\mathbf{F}(x,y,z)=(-y,\,x,\,0)
e a superfície S como o disco unitário no plano z=0, isto é,
S=\{(x,y,0)\mid x^2+y^2\le1\},
orientado para cima ( \mathbf{n}=(0,0,1)). A fronteira \partial S é o círculo unitário x^2+y^2=1, parametrizado por \mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t,0), 0\le t\le2\pi.

Passo 5

Cálculo da integral de superfície (lado esquerdo):
O rotacional é
\nabla \times \mathbf{F} =\Bigl(0,0,\frac{\partial}{\partial x}(x)-\frac{\partial}{\partial y}(-y)\Bigr) =(0,0,2).
Logo
\iint_{S}(\nabla \times \mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS =\iint_{x^2+y^2\le1}2\,dS =2\cdot\text{Área do disco} =2\pi.Á

Passo 6

Cálculo da integral de linha (lado direito):
Temos \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=(-\sin t,\cos t,0) e
\mathbf{r}'(t)=(-\sin t,\cos t,0). Então
\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{2\pi}(-\sin t,\cos t,0)\cdot(-\sin t,\cos t,0)\,dt =\int_{0}^{2\pi}\bigl(\sin^2t+\cos^2t\bigr)\,dt =\int_{0}^{2\pi}1\,dt =2\pi.

Passo 7

Conclusão do exemplo:
Ambas as integrais dão 2\pi, confirmando o Teorema de Stokes para este caso.

Resposta

O Teorema de Stokes afirma que, para uma superfície suave S com fronteira \partial S orientada positivamente, e para um campo vetorial \mathbf{F} com derivadas contínuas, vale
\iint_{S}(\nabla \times \mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS =\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
Exemplo: com \mathbf{F}(x,y,z)=(-y,x,0) e S o disco unitário em z=0, ambas as integrais valem 2\pi.

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