Questão 7: Qual a semelhança entre os teoremas de Integral de linha, de Green e Stokes? (Vale 1,0 pt.)

Passo 1

O enunciado pede que comparemos o teorema da integral de linha (o teorema fundamental do cálculo em dimensão 1), o teorema de Green (plano) e o teorema de Stokes (superfícies em \mathbb{R}^3). O assunto é cálculo vetorial, mais precisamente como uma integral sobre a fronteira de uma região se relaciona com uma integral sobre o interior dessa região.

Passo 2

No teorema fundamental do cálculo, para uma função f definida em um intervalo [a,b], temos
\int_{a}^{b} f'(x)\,\mathrm{d}x = f(b) - f(a),
ou seja, a integral de uma derivada no interior do intervalo equivale à diferença de valores de f na fronteira \{a,b\}.

Passo 3

No teorema de Green, para uma região D\subset\mathbb{R}^2 com fronteira \partial D, se \mathbf{F}=(P,Q) e P,Q têm derivadas contínuas,
\oint_{\partial D} P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,\mathrm{d}A.

Passo 4

No teorema de Stokes em \mathbb{R}^3, para uma superfície S com borda \partial S e campo vetorial \mathbf{F} regular,
\oint_{\partial S} \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} =\iint_{S} (\nabla\times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}\,\mathrm{d}S.

Passo 5

Em todos os três casos a estrutura é a mesma: a integral de uma “derivada” (no sentido de derivada ordinária, rotacional ou combinações de derivadas) sobre o interior da região equivale à integral do campo original sobre a fronteira dessa região. Formalmente, são casos particulares do teorema geral de Stokes (ou seja, do teorema de integração de uma forma diferencial sobre uma variedade e sua fronteira).

Resposta

Todos estabelecem que a integral de uma derivada (no interior) é igual à integral do campo original sobre a fronteira da região; são casos particulares do teorema geral de Stokes.

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