Questão 7: Qual a semelhança entre os teoremas de Integral de linha, de Green e Stokes? (Vale 1,0 pt.)
Passo 1
O enunciado pede que comparemos o teorema da integral de linha (o teorema fundamental do cálculo em dimensão 1), o teorema de Green (plano) e o teorema de Stokes (superfícies em
). O assunto é cálculo vetorial, mais precisamente como uma integral sobre a fronteira de uma região se relaciona com uma integral sobre o interior dessa região.
Passo 2
No teorema fundamental do cálculo, para uma função
definida em um intervalo
, temos
ou seja, a integral de uma derivada no interior do intervalo equivale à diferença de valores de
na fronteira
.
Passo 3
No teorema de Green, para uma região
com fronteira
, se
e
têm derivadas contínuas,
Passo 4
No teorema de Stokes em
, para uma superfície
com borda
e campo vetorial
regular,
Passo 5
Em todos os três casos a estrutura é a mesma: a integral de uma “derivada” (no sentido de derivada ordinária, rotacional ou combinações de derivadas) sobre o interior da região equivale à integral do campo original sobre a fronteira dessa região. Formalmente, são casos particulares do teorema geral de Stokes (ou seja, do teorema de integração de uma forma diferencial sobre uma variedade e sua fronteira).
Resposta
Todos estabelecem que a integral de uma derivada (no interior) é igual à integral do campo original sobre a fronteira da região; são casos particulares do teorema geral de Stokes.