Questão 2: Quais são as versões estendidas do Teorema de Green, apresente dois exemplos (Vale 1,0 \mathrm{pt}.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar as versões estendidas do Teorema de Green e dar dois exemplos. O conteúdo pertence a Cálculo Vetorial, onde aprendemos o Teorema de Green para regiões simples e agora vamos ver como ele se generaliza para casos mais complicados.

Passo 2

Versão para regiões com múltiplas fronteiras: suponha que D\subset\mathbb{R}^2 seja uma região cujo contorno \partial D é formado por uma curva externa C_0 orientada positivamente e por curvas internas C_1,\dots,C_n orientadas negativamente (sentido horário). Se P e Q têm derivadas parciais contínuas em D então vale
\oint_{C_0}P\,dx + Q\,dy \;-\;\sum_{i=1}^n\!\oint_{C_i}P\,dx + Q\,dy \;=\;\iint_{D}\Bigl(\pfrac{Q}{x}-\pfrac{P}{y}\Bigr)\,dx\,dy.

Passo 3

Exemplo 1 (região anelar): Seja D o anel entre o círculo de raio R e o círculo de raio r, com 0<r<R. Aplicando a versão acima a P=-y e Q=x, temos
\pfrac{Q}{x}-\pfrac{P}{y}=1-(-1)=2.
Logo
\iint_{D}2\,dx\,dy =2\bigl(\pi R^2-\pi r^2\bigr) =2\pi\bigl(R^2-r^2\bigr).
No contorno externo \oint_{C_0}(-y\,dx + x\,dy)=2\pi R^2 e no interno \oint_{C_1}(-y\,dx + x\,dy)=2\pi r^2 (com sentido horário vem negativo), e confirma a fórmula.

Passo 4

Versão em forma diferencial (Teorema de Stokes no plano): defina a 1-forma \omega=P\,dx+Q\,dy. Então, num domínio D com fronteira \partial D, vale
\oint_{\partial D}\omega =\iint_{D}d\omega,
onde
d\omega =\Bigl(\pfrac{Q}{x}-\pfrac{P}{y}\Bigr)\,dx\wedge dy.
Isto é uma formulação mais abstrata que unifica Green e o Teorema de Stokes em dimensões superiores.

Passo 5

Exemplo 2 (círculo unitário): seja D o disco \{x^2+y^2\le1\} e \omega=-y\,dx + x\,dy. Então
d\omega =\bigl(1-(-1)\bigr)\,dx\wedge dy =2\,dx\wedge dy,
e
\iint_{D}2\,dx\,dy =2\cdot\pi\cdot1^2 =2\pi.
Pela forma diferencial, \displaystyle\oint_{\partial D}\omega=2\pi, que coincide com o cálculo direto sobre a circunferência.

Resposta

As versões estendidas são:
  1. Teorema de Green para regiões com várias componentes de fronteira (uma externa e várias internas), ajustando o sinal nos contornos internos.
  2. Formulação em termos de formas diferenciais (Teorema de Stokes no plano): \displaystyle\oint_{\partial D}\omega=\iint_{D}d\omega.
Exemplo 1: anel entre dois círculos para \omega=-y\,dx+x\,dy.
Exemplo 2: disco unitário para \omega=-y\,dx+x\,dy.

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