Questão 2: Quais são as versões estendidas do Teorema de Green, apresente dois exemplos (Vale
.)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar as versões estendidas do Teorema de Green e dar dois exemplos. O conteúdo pertence a Cálculo Vetorial, onde aprendemos o Teorema de Green para regiões simples e agora vamos ver como ele se generaliza para casos mais complicados.
Passo 2
Versão para regiões com múltiplas fronteiras: suponha que
seja uma região cujo contorno
é formado por uma curva externa
orientada positivamente e por curvas internas
orientadas negativamente (sentido horário). Se
e
têm derivadas parciais contínuas em
então vale
Passo 3
Exemplo 1 (região anelar): Seja
o anel entre o círculo de raio
e o círculo de raio
, com
. Aplicando a versão acima a
e
, temos
Logo
No contorno externo
e no interno
(com sentido horário vem negativo), e confirma a fórmula.
Passo 4
Versão em forma diferencial (Teorema de Stokes no plano): defina a 1-forma
. Então, num domínio
com fronteira
, vale
onde
Isto é uma formulação mais abstrata que unifica Green e o Teorema de Stokes em dimensões superiores.
Passo 5
Exemplo 2 (círculo unitário): seja
o disco
e
. Então
e
Pela forma diferencial,
, que coincide com o cálculo direto sobre a circunferência.
Resposta
As versões estendidas são:
- Teorema de Green para regiões com várias componentes de fronteira (uma externa e várias internas), ajustando o sinal nos contornos internos.
- Formulação em termos de formas diferenciais (Teorema de Stokes no plano):
.
Exemplo 1: anel entre dois círculos para
.
Exemplo 2: disco unitário para .
Exemplo 2: disco unitário para