Questão 3 - A equação abaixo apresenta o modelo para o oscilador não-linear de Duffing
m \ddot{x}+b_{0} \dot{x}+k_{1} x^{3}-k_{0} x=F
a) Encontre os pontos de equilíbrio para F_{e q}=0.
b) Linearize o sistema em torno de um ponto de equilíbrio escolhido.

Passo 1

O enunciado apresenta o oscilador não-linear de Duffing
m\,\ddot{x} + b_{0}\,\dot{x} + k_{1}\,x^{3} - k_{0}\,x = F
e pede:
  1. encontrar os pontos de equilíbrio para F_{\text{eq}}=0;
  2. linearizar o sistema em torno de um ponto de equilíbrio escolhido.
    Para isso vamos usar definição de equilíbrio em sistemas dinâmicos e expansão em torno do ponto via Jacobiano.

Passo 2

Em regime de equilíbrio temos posição constante e velocidade nula, ou seja \dot{x}=0 e \ddot{x}=0, com F=0. Substituindo em
m\,0 + b_{0}\,0 + k_{1}\,x_{\text{eq}}^{3} - k_{0}\,x_{\text{eq}} = 0
obtém-se
k_{1}\,x_{\text{eq}}^{3} - k_{0}\,x_{\text{eq}} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_{\text{eq}}\,(k_{1}\,x_{\text{eq}}^{2} - k_{0}) = 0
Logo os pontos de equilíbrio são
x_{\text{eq}} = 0, \quad x_{\text{eq}} = +\sqrt{\frac{k_{0}}{k_{1}}}, \quad x_{\text{eq}} = -\sqrt{\frac{k_{0}}{k_{1}}}.

Passo 3

Para linearizar reescrevemos o sistema como primeira ordem. Definimos
x_{1} = x, \quad x_{2} = \dot{x}.
Então
\dot{x}_{1} = x_{2}, \qquad \dot{x}_{2} = \frac{1}{m}\bigl(F - b_{0}\,x_{2} - k_{1}\,x_{1}^{3} + k_{0}\,x_{1}\bigr).

Passo 4

O Jacobiano A é a matriz das derivadas parciais de (\dot{x}_{1},\dot{x}_{2}) em relação a (x_{1},x_{2}):
A = \begin{pmatrix} \frac{\partial \dot{x}_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial \dot{x}_{1}}{\partial x_{2}} \\[6pt] \frac{\partial \dot{x}_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial \dot{x}_{2}}{\partial x_{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[4pt] \frac{1}{m}\bigl(k_{0} - 3\,k_{1}\,x_{1}^{2}\bigr) & -\frac{b_{0}}{m} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Escolhendo o ponto de equilíbrio x_{\text{eq}}=0 (e x_{2,\text{eq}}=0), substituímos x_{1}=0 em A:
A_{\text{lin}} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[4pt] \frac{k_{0}}{m} & -\frac{b_{0}}{m} \end{pmatrix}.
A dinâmica linearizada em torno de x_{\text{eq}}=0 fica
\delta\dot{x} = A_{\text{lin}}\,\delta x, \quad \delta x = \begin{pmatrix}\delta x_{1} \\[2pt] \delta x_{2}\end{pmatrix}.]

Resposta

Os pontos de equilíbrio (com F_{\text{eq}}=0) são
x_{\text{eq}} = 0,\quad x_{\text{eq}} = \pm\sqrt{\frac{k_{0}}{k_{1}}}.
A linearização em torno de x_{\text{eq}}=0 leva ao sistema
\delta\dot{x} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[4pt] \frac{k_{0}}{m} & -\frac{b_{0}}{m} \end{pmatrix} \delta x.]

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