Questão 2 - A equação diferencial abaixo é conhecida como oscilador de Van Der Pol com amortecimento não-linear:
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}-\mu\left(1-x^{2}\right) \frac{d x}{d t}+x=0
a) Encontre o ponto de equilíbrio.
b) Linearize o sistema em torno deste ponto de equilíbrio.

Passo 1

O enunciado pede o ponto de equilíbrio e a linearização do oscilador de Van der Pol
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} - \mu\bigl(1 - x^{2}\bigr)\frac{dx}{dt} + x = 0.
Para isso vamos reescrever como um sistema de primeira ordem, achar o ponto de equilíbrio e depois calcular o Jacobiano para obter o sistema linear em torno desse ponto.

Passo 2

Definimos
x_{1} = x,\quad x_{2} = \frac{dx}{dt}.
Então o sistema de primeira ordem fica
\begin{cases} \dot x_{1} = x_{2},\\\ \dot x_{2} = \mu\bigl(1 - x_{1}^{2}\bigr)\,x_{2} - x_{1}. \end{cases}

Passo 3

O ponto de equilíbrio (x_{1}^{*},x_{2}^{*}) satisfaz
\dot x_{1}=0,\quad \dot x_{2}=0.
Da primeira equação vem x_{2}^{*}=0. Substituindo na segunda,
\mu\bigl(1 - (x_{1}^{*})^{2}\bigr)\cdot0 - x_{1}^{*}=0 \;\Longrightarrow\;-x_{1}^{*}=0 \;\Longrightarrow\;x_{1}^{*}=0.
Logo o único ponto de equilíbrio é (0,0).

Passo 4

Para linearizar, montamos o Jacobiano do campo de vetores
f(x_{1},x_{2}) = \begin{pmatrix} f_{1}\\[6pt] f_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{2}\\[3pt] \mu\bigl(1 - x_{1}^{2}\bigr)\,x_{2} - x_{1} \end{pmatrix}
e calculamos
J(x_{1},x_{2}) = \frac{\partial f}{\partial(x_{1},x_{2})} = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}}\\[6pt] \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[3pt] -2\mu\,x_{1}\,x_{2} - 1 & \mu\bigl(1 - x_{1}^{2}\bigr) \end{pmatrix}.]

Passo 5

Avaliamo J em (x_{1}^{*},x_{2}^{*})=(0,0):
J(0,0) = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ -1 & \mu \end{pmatrix}.
Portanto o sistema linearizado em volta de (0,0) é
\begin{pmatrix} \dot \xi_{1}\\\ \dot \xi_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ -1 & \mu \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \xi_{1}\\\ \xi_{2} \end{pmatrix},
onde \xi = (x_{1},x_{2}) representa a perturbação.

Resposta

O ponto de equilíbrio é (x_{1}^{*},x_{2}^{*})=(0,0).
O sistema linearizado em torno de (0,0) é
\dot \xi_{1} = \xi_{2},\qquad \dot \xi_{2} = -\xi_{1} + \mu\,\xi_{2}.

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