Questão 1 - Para as equações diferenciais abaixo, prove se são lineares ou não lineares usando os princípios da aditividade e homogeneidade.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial
e pede para testar se ela define um sistema linear, usando os princípios de aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Um sistema é linear se, para quaisquer entradas
,
e quaisquer escalares
, as saídas
,
satisfazem
quando a entrada é
. Isso equivale a verificar separadamente aditividade e homogeneidade.
Passo 3
Teste de aditividade. Seja
e
. Então
onde definimos o operador linear em
como
Para a entrada
, teste com
:
Mas a equação exigiria
Como
, a aditividade falha.
Passo 4
Teste de homogeneidade. Seja um escalar
e entrada
. Se fosse homogêneo, teríamos
mas
Como
para
, a homogeneidade também falha.
Resposta
A equação diferencial não define um sistema linear, pois não satisfaz aditividade nem homogeneidade.