Questão 1 - Para as equações diferenciais abaixo, prove se são lineares ou não lineares usando os princípios da aditividade e homogeneidade.
\frac{d^{2} y(t)}{d t^{2}}+5 \frac{d y(t)}{d t}+2 y(t)=0.1 u(t)+2

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
\frac{d^{2}y(t)}{d t^{2}} + 5\,\frac{d y(t)}{d t} + 2\,y(t) = 0,1\,u(t) + 2
e pede para testar se ela define um sistema linear, usando os princípios de aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Um sistema é linear se, para quaisquer entradas u_{1}(t), u_{2}(t) e quaisquer escalares a,b, as saídas y_{1}(t), y_{2}(t) satisfazem
y_{ab}(t) = a\,y_{1}(t) + b\,y_{2}(t)
quando a entrada é a\,u_{1}(t) + b\,u_{2}(t). Isso equivale a verificar separadamente aditividade e homogeneidade.

Passo 3

Teste de aditividade. Seja u_{1}\mapsto y_{1} e u_{2}\mapsto y_{2}. Então
L[y_{1}](t) = 0,1\,u_{1}(t) + 2 \quad\text{e}\quad L[y_{2}](t) = 0,1\,u_{2}(t) + 2,
onde definimos o operador linear em y como
L[y](t) = \frac{d^{2}y(t)}{d t^{2}} + 5\,\frac{d y(t)}{d t} + 2\,y(t).
Para a entrada u_{1}+u_{2}, teste com y_{1}+y_{2}:
L[y_{1}+y_{2}] = L[y_{1}] + L[y_{2}] = \bigl(0,1\,u_{1}+2\bigr) + \bigl(0,1\,u_{2}+2\bigr) = 0,1\,(u_{1}+u_{2}) + 4.
Mas a equação exigiria
L[y_{1+2}] = 0,1\,(u_{1}+u_{2}) + 2.
Como 0,1(u_{1}+u_{2})+4 \neq 0,1(u_{1}+u_{2})+2, a aditividade falha.

Passo 4

Teste de homogeneidade. Seja um escalar a e entrada a\,u\mapsto y_{a}. Se fosse homogêneo, teríamos
L[a\,y] \stackrel{?}{=} a\,L[y]
mas
L[a\,y] = 0,1\,(a\,u) + 2 = 0,1\,a\,u + 2 \quad\text{e}\quad a\,L[y] = a\bigl(0,1\,u + 2\bigr) = 0,1\,a\,u + 2\,a.
Como 0,1\,a\,u + 2 \neq 0,1\,a\,u +2\,a para a\neq1, a homogeneidade também falha.

Resposta

A equação diferencial não define um sistema linear, pois não satisfaz aditividade nem homogeneidade.

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