Questão 6 - A Equação 4 é a Equação de Bernoulli, esta equação descreve as transformações entre as formas de energia mecânica em escoamentos ideais, ou seja, escoamentos incompressíveis, invíscidos e em regime permanente.
\Delta \mathrm{P}+\frac{\rho}{2} \Delta\left(\overline{\mathrm{~V}}^{2}\right)+\rho \cdot g \cdot \Delta \mathrm{z}=0
Onde P é a pressão, \bar{V} é a velocidade média do escoamento, z é a altura, \rho é a densidade mássica e g é a aceleração da gravidade. Os três termos da Equação representam a variação de energia de pressão, variação de energia cinética e variação de energia gravitacional. Demonstre a consistência dimensional entre os três termos.
Também demonstre para as duas outras formas (Equações 7 e 8) da Equação 6.
\frac{\Delta P}{\rho}+\frac{1}{2} \Delta\left(\overline{\mathrm{~V}}^{2}\right)+\mathrm{g} \cdot \Delta \mathrm{z}=0
\frac{\Delta P}{\rho \cdot g}+\frac{1}{2 \cdot g} \Delta\left(\overline{\mathrm{~V}}^{2}\right)+\Delta \mathrm{z}=0

Passo 1

Resumindo: queremos mostrar que em cada forma da Equação de Bernoulli todos os termos têm a mesma dimensão. Para isso vamos usar análise dimensional. Precisamos saber as dimensões de pressão P, densidade mássica \rho, velocidade V, gravidade g e altura z:
[P]=\mathrm{M\,L^{-1}T^{-2}},\quad [\rho]=\mathrm{M\,L^{-3}},\quad [V]=\mathrm{L\,T^{-1}},\quad [g]=\mathrm{L\,T^{-2}},\quad [z]=\mathrm{L}.

Passo 2

Na forma
\Delta P + \frac{\rho}{2}\,\Delta\bigl(\overline{V}^2\bigr) + \rho\,g\,\Delta z = 0
analisamos cada termo:
  1. \Delta P tem dimensão [P]=\mathrm{M\,L^{-1}T^{-2}}.
  2. \displaystyle \frac{\rho}{2}\,\Delta(\overline{V}^2) tem dimensão
[\rho]\,[V^2] =\bigl(\mathrm{M\,L^{-3}}\bigr)\,\bigl(\mathrm{L^2\,T^{-2}}\bigr) =\mathrm{M\,L^{-1}T^{-2}}.
  1. \rho\,g\,\Delta z tem dimensão
[\rho]\,[g]\,[z] =\bigl(\mathrm{M\,L^{-3}}\bigr)\,\bigl(\mathrm{L\,T^{-2}}\bigr)\,\bigl(\mathrm{L}\bigr) =\mathrm{M\,L^{-1}T^{-2}}.
Logo todos têm dimensão \mathrm{M\,L^{-1}T^{-2}}.

Passo 3

Na forma
\frac{\Delta P}{\rho} + \frac{1}{2}\,\Delta\bigl(\overline{V}^2\bigr) + g\,\Delta z = 0
cada termo tem:
  1. \displaystyle \frac{\Delta P}{\rho} tem dimensão
\frac{[P]}{[\rho]} =\frac{\mathrm{M\,L^{-1}T^{-2}}}{\mathrm{M\,L^{-3}}} =\mathrm{L^2\,T^{-2}}.
  1. \displaystyle \frac12\,\Delta(V^2) tem dimensão [V^2]=\mathrm{L^2\,T^{-2}}.
  2. g\,\Delta z tem dimensão
[g]\,[z] =\bigl(\mathrm{L\,T^{-2}}\bigr)\,\bigl(\mathrm{L}\bigr) =\mathrm{L^2\,T^{-2}}.
Logo todos são \mathrm{L^2\,T^{-2}}.

Passo 4

Na forma
\frac{\Delta P}{\rho\,g} + \frac{1}{2\,g}\,\Delta\bigl(\overline{V}^2\bigr) + \Delta z = 0
cada termo tem:
  1. \displaystyle \frac{\Delta P}{\rho\,g} tem dimensão
\frac{[P]}{[\rho]\,[g]} =\frac{\mathrm{M\,L^{-1}T^{-2}}}{\bigl(\mathrm{M\,L^{-3}}\bigr)\,\bigl(\mathrm{L\,T^{-2}}\bigr)} =\mathrm{L}.
  1. \displaystyle \frac1{2\,g}\,\Delta(V^2) tem dimensão
\frac{[V^2]}{[g]} =\frac{\mathrm{L^2\,T^{-2}}}{\mathrm{L\,T^{-2}}} =\mathrm{L}.
  1. \Delta z já é \mathrm{L}.

Resposta

Em todas as três formas da equação os termos são homogêneos:
– na forma original cada termo é \mathrm{M\,L^{-1}T^{-2}};
– na forma dividida por \rho cada termo é \mathrm{L^2\,T^{-2}};
– na forma dividida por \rho\,g cada termo é \mathrm{L}.

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