Questão 5 - Em condições adequadas de pH, temperatura e nutricionais, células bacterianas crescem exponencialmente de acordo com a Equação 3 que segue:
\mathrm{Cx}=\mathrm{K}_{1} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{K}_{2} \cdot \mathrm{t}}
em que Cx é a concentração celular em \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}, e t é o tempo em h . Quais as unidades das constantes \mathrm{K}_{1} e \mathrm{K}_{2} ? Obtenha uma equação para Cx em lbm/ \mathrm{ft}^{3} e t em dias.

Passo 1

O enunciado apresenta o crescimento celular segundo a lei exponencial
\mathrm{Cx} = K_{1} \,\mathrm{e}^{\,K_{2}\,t}
em que \mathrm{Cx} é a concentração celular em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} e t é o tempo em horas. Vamos determinar as unidades de K_{1} e K_{2} e depois reescrever a equação com \mathrm{Cx} em \mathrm{lbm}/\mathrm{ft}^{3} e t em dias.

Passo 2

Para que a expressão seja dimensionalmente consistente, o argumento da exponencial K_{2}\,t deve ser adimensional, e o fator K_{1} deve ter as mesmas unidades de \mathrm{Cx}. Logo: K_{1} tem unidades de \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.

Passo 3

Como K_{2}\,t é adimensional e t está em horas, segue que K_{2} deve ter unidades de 1/\mathrm{h}.

Passo 4

Para passar de \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} para \mathrm{lbm}/\mathrm{ft}^{3} usamos
1~\mathrm{kg} = 2{,}20462~\mathrm{lbm}, \quad 1~\mathrm{m}^{3} = 35{,}3147~\mathrm{ft}^{3},
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1~\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{3}} = \frac{2{,}20462}{35{,}3147}\,\frac{\mathrm{lbm}}{\mathrm{ft}^{3}} \approx 0{,}06243\,\frac{\mathrm{lbm}}{\mathrm{ft}^{3}}.
Assim, o novo K_{1}' = K_{1}\times0{,}06243 em \mathrm{lbm}/\mathrm{ft}^{3}.

Passo 5

Para trocar t de horas para dias, use t(\mathrm{h})=24\,t(\mathrm{d}). Então
K_{2}\,t(\mathrm{h}) = K_{2}\,\bigl(24\,t(\mathrm{d})\bigr) = (24\,K_{2})\,t(\mathrm{d}),
ou seja, K_{2}' = 24\,K_{2} em \mathrm{d}^{-1}. A equação final fica:
\mathrm{Cx} = K_{1}' \,\mathrm{e}^{\,K_{2}'\,t},
com
K_{1}' = 0{,}06243\,K_{1}\quad\bigl[\mathrm{lbm}/\mathrm{ft}^{3}\bigr], \quad K_{2}' = 24\,K_{2}\quad[\mathrm{d}^{-1}],
e t em dias.

Resposta

As unidades são K_{1} : \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} K_{2} : \mathrm{h}^{-1}
A equação em \mathrm{lbm}/\mathrm{ft}^{3} e t em dias é
\mathrm{Cx} = \bigl(0{,}06243\,K_{1}\bigr) \exp\!\bigl[(24\,K_{2})\,t\bigr],
onde K_{1} está em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}, K_{2} em \mathrm{h}^{-1} e t em dias.

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