Questão 3 - Equações Lineares de 1a Ordem
Método: Para \frac{d x}{d t}+P(t) x=Q(t), o fator integrante é \mu(t)=e^{\int P(t) d t}.
b) \frac{d x}{d t}=2 x-1

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá a equação diferencial ordinária
\frac{d x}{d t}=2x-1.
  • Pede encontrar a solução geral x(t) (não foi dada condição inicial).
Informações relevantes retiradas do enunciado:
  • A equação é de primeira ordem e linear (forma geral \dfrac{d x}{d t}+P(t)x=Q(t) pode ser obtida a partir da dada).
  • Não há condição inicial, então a resposta será a solução geral com uma constante arbitrária.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão \dfrac{d x}{d t}+P(t)x=Q(t).
  • A equação dada é
\frac{d x}{d t}=2x-1.
  • Subtraindo 2x de ambos os lados obtemos
\frac{d x}{d t}-2x=-1.
  • Comparando com \dfrac{d x}{d t}+P(t)x=Q(t), identificamos
P(t)=-2,\qquad Q(t)=-1.

Passo 3

Explicar o método do fator integrante (ideia e fórmula).
  • Para uma equação linear de primeira ordem na forma
\frac{d x}{d t}+P(t)x=Q(t),
o fator integrante \mu(t) é definido por
\mu(t)=e^{\int P(t)\,dt}.
  • A razão: multiplicando a equação por \mu(t) transforma o lado esquerdo em uma derivada de produto, pois
\mu(t)\frac{d x}{d t}+\mu(t)P(t)x=\frac{d}{dt}\big(\mu(t)x\big),
desde que \mu'(t)=\mu(t)P(t), o que é exatamente satisfeito pela definição de \mu.

Passo 4

Calcular o fator integrante para o nosso caso.
  • Temos P(t)=-2, então
\mu(t)=e^{\int -2\,dt}=e^{-2t}.
(uma constante multiplicativa em \mu pode ser ignorada porque se anula no processo.)

Passo 5

Multiplicar a equação por \mu(t) e reconhecer a derivada de produto.
  • Multiplicando \frac{d x}{d t}-2x=-1 por e^{-2t}
e^{-2t}\frac{d x}{d t}-2e^{-2t}x=-e^{-2t}.
  • O lado esquerdo é a derivada de produto:
\frac{d}{dt}\big(e^{-2t}x\big) = e^{-2t}\frac{d x}{d t}-2e^{-2t}x.
  • Logo a equação fica
\frac{d}{dt}\big(e^{-2t}x\big) = -e^{-2t}.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a t.
  • Integramos:
\int \frac{d}{dt}\big(e^{-2t}x\big)\,dt = \int -e^{-2t}\,dt.
  • O lado esquerdo integra diretamente para e^{-2t}x.
  • Para o lado direito, calcular a integral:
\int -e^{-2t}\,dt = -\int e^{-2t}\,dt = -\left(\frac{e^{-2t}}{-2}\right)+C = \frac{e^{-2t}}{2}+C,
onde C é a constante de integração.
  • Assim obtemos
e^{-2t}x = \frac{e^{-2t}}{2}+C.

Passo 7

Isolar x(t) e apresentar a solução geral.
  • Multiplicando ambos os lados por e^{2t}
x(t) = \frac{1}{2} + C e^{2t}.
  • Esta é a solução geral. Aqui C é uma constante arbitrária que será fixada se houver uma condição inicial.

Passo 8

Interpretação e comentário sobre constantes e soluções particulares.
  • A solução pode ser vista como soma de:
    • solução particular estacionária \displaystyle x_p=\frac{1}{2} (porque se x for constante, \frac{dx}{dt}=0 e 0=2x-1\Rightarrow x=\tfrac{1}{2});
    • solução homogênea \displaystyle x_h=C e^{2t}, que cresce exponencialmente por causa do autovalor 2.
  • Se fosse dada uma condição inicial, por exemplo x(0)=x_0, então C=x_0-\tfrac{1}{2} e a solução particular seria
x(t)=\frac{1}{2}+\left(x_0-\frac{1}{2}\right)e^{2t}.

Passo 9

Verificação rápida (para ajudar a fixar o procedimento).
  • Diferenciando a solução encontrada:
\frac{d x}{d t}=0+2C e^{2t}=2\big(C e^{2t}\big).
  • Calculando o lado direito da equação original com x(t)=\tfrac{1}{2}+C e^{2t}:
2x-1=2\left(\frac{1}{2}+C e^{2t}\right)-1=1+2C e^{2t}-1=2C e^{2t},
o que coincide com \dfrac{dx}{dt}. Portanto a solução está correta.

Resposta

x(t)=\dfrac{1}{2}+C e^{2t}

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