Questão 3 - Equações Lineares de 1a Ordem
Método: Para
, o fator integrante é
.
b)
Método: Para
b)
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá a equação diferencial ordinária
- Pede encontrar a solução geral
(não foi dada condição inicial).
Informações relevantes retiradas do enunciado:
- A equação é de primeira ordem e linear (forma geral
pode ser obtida a partir da dada). - Não há condição inicial, então a resposta será a solução geral com uma constante arbitrária.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão
.
- A equação dada é
- Subtraindo
de ambos os lados obtemos
- Comparando com
, identificamos
Passo 3
Explicar o método do fator integrante (ideia e fórmula).
- Para uma equação linear de primeira ordem na forma
o fator integrante
é definido por
- A razão: multiplicando a equação por
transforma o lado esquerdo em uma derivada de produto, pois
desde que
, o que é exatamente satisfeito pela definição de
.
Passo 4
Calcular o fator integrante para o nosso caso.
- Temos
, então
(uma constante multiplicativa em
pode ser ignorada porque se anula no processo.)
Passo 5
Multiplicar a equação por
e reconhecer a derivada de produto.
- Multiplicando
por dá
- O lado esquerdo é a derivada de produto:
- Logo a equação fica
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
.
- Integramos:
- O lado esquerdo integra diretamente para
. - Para o lado direito, calcular a integral:
onde
é a constante de integração.
- Assim obtemos
Passo 7
Isolar
e apresentar a solução geral.
- Multiplicando ambos os lados por
dá
- Esta é a solução geral. Aqui
é uma constante arbitrária que será fixada se houver uma condição inicial.
Passo 8
Interpretação e comentário sobre constantes e soluções particulares.
- A solução pode ser vista como soma de:
- solução particular estacionária
(porque se for constante, e ); - solução homogênea
, que cresce exponencialmente por causa do autovalor .
- solução particular estacionária
- Se fosse dada uma condição inicial, por exemplo
, então e a solução particular seria
Passo 9
Verificação rápida (para ajudar a fixar o procedimento).
- Diferenciando a solução encontrada:
- Calculando o lado direito da equação original com
:
o que coincide com
. Portanto a solução está correta.