Se
, encontre
e
.
Passo 1
O enunciado dá a informação
e pede para encontrar
e
.
Informações relevantes fornecidas:
- Valor de
: . - O que se deve determinar: os valores numéricos de
e .
Passo 2
Relembrando definições e identidades que vamos usar (explicando cada coisa):
- Por definição, a hiperbólica tangente é a razão entre seno hiperbólico e cosseno hiperbólico:
Aqui
e
são funções hiperbólicas de
; ambas são números reais quando
é real.
- Há uma identidade fundamental das hiperbólicas, análoga à identidade trigonométrica, que vale para todo
:
Nessa identidade
significa
e
significa
. Essa identidade segue diretamente das definições em termos de exponenciais, mas aqui vamos usá‑la como ferramenta para relacionar
e
.
Passo 3
Usando
, podemos escrever que
e
são proporcionais por essa razão. Uma forma prática é introduzir um fator comum
tal que
Essa escolha garante que
, ou seja, preserva a razão dada.
Passo 4
Agora usamos a identidade
. Substituindo
e
obtemos:
Desenvolvendo os quadrados:
Somando os termos:
Daí
Passo 5
Agora decidimos o sinal de
. Lembrando que para todo real
vale
, ou seja,
é sempre positivo. Como
e
, conclui-se que
deve ser positivo. Portanto
Substituindo
em
e
:
Passo 6
Verificação rápida (sempre bom checar):
que coincide com o dado. E
como esperado.