Determine o domínio de f(x)=\ln \left(\frac{x-1}{x+2}\right)+\arcsin \left(\frac{x}{3}\right).

Passo 1

O problema pede: determinar o domínio da função
f(x)=\ln\!\left(\frac{x-1}{x+2}\right)+\arcsin\!\left(\frac{x}{3}\right).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função contém um termo do tipo \ln(\cdot). Para que \ln(u) esteja definido é necessário que u>0.
  • A função contém \arcsin(\cdot). Para que \arcsin(v) esteja definido é necessário que v\in[-1,1].
  • No nosso caso u=\dfrac{x-1}{x+2} e v=\dfrac{x}{3}.
    As perguntas que precisamos responder são: para quais valores de x ambas as condições acima são satisfeitas simultaneamente?

Passo 2

Domínio da parte \arcsin\!\left(\dfrac{x}{3}\right).
A condição para \arcsin é
\frac{x}{3}\in[-1,1].
Multiplicando por 3 (número positivo, então a desigualdade mantém o sentido) obtemos
x\in[-3,3].
Explicando: isso significa que qualquer x fora do intervalo [-3,3] torna \arcsin(x/3) indefinido. Logo já temos uma restrição: só podemos considerar x em [-3,3].

Passo 3

Domínio da parte \ln\!\left(\dfrac{x-1}{x+2}\right).
A condição é
\frac{x-1}{x+2}>0
e além disso o denominador não pode ser zero, ou seja x\neq -2 (mas isso já aparece automaticamente ao resolver a desigualdade).
Vou resolver a desigualdade racional \dfrac{x-1}{x+2}>0. Método: identificar pontos críticos (onde numerador ou denominador é zero) e fazer um quadro de sinais.
Pontos críticos:
  • numerador x-1=0 x=1;
  • denominador x+2=0 x=-2.
Esses pontos dividem a reta real em três intervalos: (-\infty,-2), (-2,1) e (1,\infty).

Passo 4

Analisar o sinal de \dfrac{x-1}{x+2} em cada intervalo com pontos teste.
  • Para x\in(-\infty,-2), tomo x=-3 como teste:
    \frac{-3-1}{-3+2}=\frac{-4}{-1}=4>0.
    Então a expressão é positiva nesse intervalo.
  • Para x\in(-2,1), tomo x=0 como teste:
    \frac{0-1}{0+2}=\frac{-1}{2}=-\tfrac{1}{2}<0.
    Então a expressão é negativa nesse intervalo.
  • Para x\in(1,\infty), tomo x=2 como teste:
    \frac{2-1}{2+2}=\frac{1}{4}>0.
    Então a expressão é positiva nesse intervalo.
Conclusão desta etapa: a condição \dfrac{x-1}{x+2}>0 é satisfeita para
x\in(-\infty,-2)\cup(1,\infty),
com x=-2 e x=1 excluídos (em x=1 o numerador é zero e \ln(0) é indefinido; em x=-2 a expressão não está definida).

Passo 5

Agora usamos ambas as restrições simultaneamente: precisamos de x que satisfaçam
x\in[-3,3]\quad\text{e}\quad x\in(-\infty,-2)\cup(1,\infty).
Iremos fazer a interseção desses conjuntos.
  • Interseção de [-3,3] com (-\infty,-2) é o intervalo de -3 até -2, incluindo -3 (pois -3\in[-3,3] e -3\in(-\infty,-2)) e excluindo -2. Então esse pedaço é [-3,-2).
  • Interseção de [-3,3] com (1,\infty) é o intervalo de 1 até 3, excluindo 1 e incluindo 3. Então esse pedaço é (1,3].

Passo 6

Verificações finais nos extremos para ter certeza sobre inclusão/exclusão:
  • x=-3: \dfrac{x}{3}=-1 (permitido para \arcsin), e \dfrac{x-1}{x+2}=\dfrac{-4}{-1}=4>0 (permitido para \ln). Logo -3 pertence ao domínio.
  • x=-2: denominador zero na expressão do logaritmo; excluído.
  • x=1: numerador zero, \ln(0) indefinido; excluído.
  • x=3: \dfrac{x}{3}=1 (permitido para \arcsin), e \dfrac{3-1}{3+2}=\dfrac{2}{5}>0 (permitido para \ln). Logo 3 pertence ao domínio.
Tudo consistente com os intervalos encontrados.

Resposta

[ -3,-2 ) \cup (1,3 ]

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