Determine o domínio de
.
Passo 1
O problema pede: determinar o domínio da função
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função contém um termo do tipo
. Para que esteja definido é necessário que . - A função contém
. Para que esteja definido é necessário que . - No nosso caso
e .
As perguntas que precisamos responder são: para quais valores deambas as condições acima são satisfeitas simultaneamente?
Passo 2
Domínio da parte
.
A condição para
é
Multiplicando por
(número positivo, então a desigualdade mantém o sentido) obtemos
Explicando: isso significa que qualquer
fora do intervalo
torna
indefinido. Logo já temos uma restrição: só podemos considerar
em
.
Passo 3
Domínio da parte
.
A condição é
e além disso o denominador não pode ser zero, ou seja
(mas isso já aparece automaticamente ao resolver a desigualdade).
Vou resolver a desigualdade racional
. Método: identificar pontos críticos (onde numerador ou denominador é zero) e fazer um quadro de sinais.
Pontos críticos:
- numerador
dá ; - denominador
dá .
Esses pontos dividem a reta real em três intervalos:
,
e
.
Passo 4
Analisar o sinal de
em cada intervalo com pontos teste.
-
Para
, tomo como teste: Então a expressão é positiva nesse intervalo. -
Para
, tomo como teste: Então a expressão é negativa nesse intervalo. -
Para
, tomo como teste: Então a expressão é positiva nesse intervalo.
Conclusão desta etapa: a condição
é satisfeita para
com
e
excluídos (em
o numerador é zero e
é indefinido; em
a expressão não está definida).
Passo 5
Agora usamos ambas as restrições simultaneamente: precisamos de
que satisfaçam
Iremos fazer a interseção desses conjuntos.
-
Interseção de
com é o intervalo de até , incluindo (pois e ) e excluindo . Então esse pedaço é . -
Interseção de
com é o intervalo de até , excluindo e incluindo . Então esse pedaço é .
Passo 6
Verificações finais nos extremos para ter certeza sobre inclusão/exclusão:
-
: (permitido para ), e (permitido para ). Logo pertence ao domínio. -
: denominador zero na expressão do logaritmo; excluído. -
: numerador zero, indefinido; excluído. -
: (permitido para ), e (permitido para ). Logo pertence ao domínio.
Tudo consistente com os intervalos encontrados.