Questão 6. Esboce a curva y=8 x^{2}-x^{4}.

Passo 1

O enunciado pede: esboçar a curva y=8x^{2}-x^{4}.
Informações dadas e dados imediatos que iremos usar:
  • A função é y=8x^{2}-x^{4}.
  • O domínio natural é todos os números reais, isto é, \mathbb{R}.
  • O objetivo final é um esboço (gráfico qualitativo) com pontos e comportamento característicos bem marcados.

Passo 2

Identificar propriedades simples e comportamento nas extremidades (isso já ajuda muito no esboço).
  • É um polinômio de grau 4 com coeficiente principal negativo (o termo dominante é -x^{4}). Isso implica que, quando |x|\to\infty, temos y\to -\infty (as duas “ponta” do gráfico vão para baixo).
  • A função é par (simétrica em relação ao eixo y), porque \,y( -x)=8(-x)^{2}-(-x)^{4}=8x^{2}-x^{4}=y(x). Então basta analisar para x\ge0 e refletir para x\le0.
Breve explicação do porquê: um polinômio “par” significa que os termos têm potências pares só, logo o gráfico é simétrico. Isso facilita: só precisamos estudar x\ge0.

Passo 3

Achar as interseções com os eixos (raízes e intercepto em y).
  • Intercepto com o eixo y: plugando x=0 obtemos y(0)=0. Então o ponto (0,0) é intercepto em y.
  • Raízes (interseções com o eixo x): resolver 8x^{2}-x^{4}=0. x^{2}(8-x^{2})=0.Logo x^{2}=0\Rightarrow x=0 (raiz de multiplicidade 2) e 8-x^{2}=0\Rightarrow x^{2}=8\Rightarrow x=\pm\sqrt{8}=\pm 2\sqrt{2}.
  • Conclusão: as raízes são x=0 (tocando o eixo) e x=\pm 2\sqrt{2}\approx\pm 2{,}828. O ponto (0,0) tem multiplicidade 2, o que significa que o gráfico “toca” o eixo x em 0 sem atravessá-lo (fica do mesmo lado ao redor).
Explicação rápida sobre multiplicidade: se uma raiz tem multiplicidade par, a curva toca e volta; se ímpar, cruza o eixo. Aqui em 0 a multiplicidade 2 indica “bounce” no eixo.

Passo 4

Encontrar derivada e pontos críticos (para saber máximos/ mínimos e monotonia).
  • Derivada: y'=\frac{d}{dx}(8x^{2}-x^{4})=16x-4x^{3}=4x(4-x^{2}).
  • Zeros de y' (pontos críticos): resolver 4x(4-x^{2})=0 x=0 e x^{2}=4\Rightarrow x=\pm 2.
  • Avaliar y nesses pontos: y(0)=0,\qquad y(2)=8\cdot 2^{2}-2^{4}=8\cdot4-16=32-16=16,e por simetria y(-2)=16.
  • Assim os pontos críticos relevantes são (0,0) e (\pm 2,16).
Explicação didática do que é a derivada: y'(x) dá a inclinação da reta tangente. Zeros de y' indicam onde a inclinação é zero — candidatos a máximos ou mínimos locais.

Passo 5

Classificar os pontos críticos usando a segunda derivada (teste da concavidade).
  • Segunda derivada: y''=\frac{d}{dx}(16x-4x^{3})=16-12x^{2}=4(4-3x^{2}).
  • Avaliar em cada ponto crítico:
    • Em x=0: y''(0)=16>0. Quando y''>0, a curva é côncava para cima e o ponto é mínimo local. Logo (0,0) é um mínimo local.
    • Em x=2: y''(2)=16-12\cdot4=16-48=-32<0. Quando y''<0, curva côncava para baixo e o ponto é máximo local. Logo (2,16) é máximo local; por simetria (-2,16) também.
  • Observação sobre mínimo em x=0: embora seja mínimo local (valor 0), ele não é mínimo global porque para |x| muito grande a função vai para -\infty.
Breve aula: o teste da segunda derivada diz que se y''(x_0)>0 então x_0 é mínimo local, se y''(x_0)<0 então é máximo local. Se y''(x_0)=0 o teste é inconclusivo.

Passo 6

Encontrar pontos de inflexão (onde a concavidade muda).
  • Resolver y''=0: 16-12x^{2}=0\quad\Rightarrow\quad x^{2}=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}\quad\Rightarrow\quad x=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}.
  • Avaliar y nesses x. Como x^{2}=\tfrac{4}{3}, y=8x^{2}-x^{4}=8\cdot\frac{4}{3}-\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{32}{3}-\frac{16}{9}=\frac{80}{9}\approx 8{,}888\ldots
  • Portanto os pontos de inflexão são \left(\pm\frac{2}{\sqrt{3}},\frac{80}{9}\right)\approx(\pm1{,}155,\,8{,}889).
Explicação: ponto de inflexão é onde a concavidade muda de cima para baixo ou vice-versa; é detectado por y'' mudando de sinal.

Passo 7

Estudar sinais de y e de y' para montar a forma geral entre pontos importantes.
  • Sinais de y:
    • Para |x|<2\sqrt{2} temos 8-x^{2}>0 então y\ge0 (na prática y>0 exceto em x=0). Entre -2\sqrt{2} e 2\sqrt{2} a curva fica acima do eixo x exceptuando o toque em 0.
    • Para |x|>2\sqrt{2}, 8-x^{2}<0 e y<0.
  • Sinais de y' (monotonia) a partir da fatoração y'=4x(4-x^{2}):
    • Para x<-2: x< -2 então x negativo e 4-x^{2}<0 ⇒ produto y'>0 (subindo).
    • Para -2<x<0: x<0 mas 4-x^{2}>0 y'<0 (descendo).
    • Para 0<x<2: x>0 e 4-x^{2}>0 y'>0 (subindo).
    • Para x>2: x>2 então 4-x^{2}<0 y'<0 (descendo).
  • Interpretação: vindo da esquerda, a curva sobe até atingir um máximo em (-2,16), depois desce passando por (0,0) (mínimo local), sobe de novo até (2,16), e finalmente desce para -\infty quando |x| aumenta além de 2\sqrt{2}.
Observação prática: isso combina com o fato de a função ser simétrica.

Passo 8

Pontos auxiliares para posicionar no esboço (valores numéricos práticos):
  • Raízes: (0,0) e \bigl(\pm 2\sqrt{2},0\bigr) com 2\sqrt{2}\approx 2{,}828.
  • Máximos: (\pm 2,16).
  • Pontos de inflexão: \left(\pm\frac{2}{\sqrt{3}},\frac{80}{9}\right)\approx(\pm1{,}155,\,8{,}889).
  • Alguns pontos intermediários para orientar o traço: y(1)=8-1=7, y(1{,}5)=8\cdot2{,}25-(2{,}25)^{2}=18-5{,}0625=12{,}9375, y(2{,}5)\approx 10{,}9375, y(3)=-9.
  • Com essas informações: desenhar os eixos; marcar -3,-2,-1,0,1,2,3 no eixo x e valores do eixo y até cerca de 20; marcar pontos (\pm2,16), (0,0), (\pm2\sqrt{2},0), (\pm1{,}155,\,8{,}889). Traçar uma curva suave que:
    • cresce para a esquerda até (-2,16),
    • decresce até tocar em (0,0),
    • sobe até (2,16),
    • decresce depois, cruzando o eixo x em (2\sqrt{2},0) e indo para -\infty.
  • Lembre-se da simetria: o ramo esquerdo é espelho do direito.
Dica rápida para prova: marque primeiro zeros e máximos/minimos; ligue com linhas suaves respeitando concavidade (mudar em pontos de inflexão).

Resposta

Esboço: curva par (simétrica em y), com raízes em (0,0) e \bigl(\pm 2\sqrt{2},0\bigr) ( 2\sqrt{2}\approx 2{,}828), máximos locais em (\pm 2,16), mínimo local em (0,0), pontos de inflexão em \left(\pm\frac{2}{\sqrt{3}},\frac{80}{9}\right)\approx(\pm1{,}155,\,8{,}889), e comportamento nas extremidades \displaystyle y\to -\infty quando |x|\to\infty. O gráfico sobe até ( -2,16), desce até (0,0), sobe novamente até (2,16) e depois decresce para -\infty.

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