Questão 6. Esboce a curva
.
Passo 1
O enunciado pede: esboçar a curva
.
Informações dadas e dados imediatos que iremos usar:
Informações dadas e dados imediatos que iremos usar:
- A função é
. - O domínio natural é todos os números reais, isto é,
. - O objetivo final é um esboço (gráfico qualitativo) com pontos e comportamento característicos bem marcados.
Passo 2
Identificar propriedades simples e comportamento nas extremidades (isso já ajuda muito no esboço).
- É um polinômio de grau
com coeficiente principal negativo (o termo dominante é ). Isso implica que, quando , temos (as duas “ponta” do gráfico vão para baixo). - A função é par (simétrica em relação ao eixo
), porque . Então basta analisar para e refletir para .
Breve explicação do porquê: um polinômio “par” significa que os termos têm potências pares só, logo o gráfico é simétrico. Isso facilita: só precisamos estudar
.
Passo 3
Achar as interseções com os eixos (raízes e intercepto em
).
- Intercepto com o eixo
: plugando obtemos . Então o ponto é intercepto em . - Raízes (interseções com o eixo
): resolver . Logo (raiz de multiplicidade 2) e . - Conclusão: as raízes são
(tocando o eixo) e . O ponto tem multiplicidade , o que significa que o gráfico “toca” o eixo em sem atravessá-lo (fica do mesmo lado ao redor).
Explicação rápida sobre multiplicidade: se uma raiz tem multiplicidade par, a curva toca e volta; se ímpar, cruza o eixo. Aqui em
a multiplicidade 2 indica “bounce” no eixo.
Passo 4
Encontrar derivada e pontos críticos (para saber máximos/ mínimos e monotonia).
- Derivada:
- Zeros de
(pontos críticos): resolver dá e . - Avaliar
nesses pontos: e por simetria . - Assim os pontos críticos relevantes são
e .
Explicação didática do que é a derivada:
dá a inclinação da reta tangente. Zeros de
indicam onde a inclinação é zero — candidatos a máximos ou mínimos locais.
Passo 5
Classificar os pontos críticos usando a segunda derivada (teste da concavidade).
- Segunda derivada:
- Avaliar em cada ponto crítico:
- Em
: . Quando , a curva é côncava para cima e o ponto é mínimo local. Logo é um mínimo local. - Em
: . Quando , curva côncava para baixo e o ponto é máximo local. Logo é máximo local; por simetria também.
- Em
- Observação sobre mínimo em
: embora seja mínimo local (valor ), ele não é mínimo global porque para muito grande a função vai para .
Breve aula: o teste da segunda derivada diz que se
então
é mínimo local, se
então é máximo local. Se
o teste é inconclusivo.
Passo 6
Encontrar pontos de inflexão (onde a concavidade muda).
- Resolver
: - Avaliar
nesses . Como , - Portanto os pontos de inflexão são
.
Explicação: ponto de inflexão é onde a concavidade muda de cima para baixo ou vice-versa; é detectado por
mudando de sinal.
Passo 7
Estudar sinais de
e de
para montar a forma geral entre pontos importantes.
- Sinais de
: - Para
temos então (na prática exceto em ). Entre e a curva fica acima do eixo exceptuando o toque em . - Para
, e .
- Para
- Sinais de
(monotonia) a partir da fatoração : - Para
: então negativo e ⇒ produto (subindo). - Para
: mas ⇒ (descendo). - Para
: e ⇒ (subindo). - Para
: então ⇒ (descendo).
- Para
- Interpretação: vindo da esquerda, a curva sobe até atingir um máximo em
, depois desce passando por (mínimo local), sobe de novo até , e finalmente desce para quando aumenta além de .
Observação prática: isso combina com o fato de a função ser simétrica.
Passo 8
Pontos auxiliares para posicionar no esboço (valores numéricos práticos):
- Raízes:
e com . - Máximos:
. - Pontos de inflexão:
. - Alguns pontos intermediários para orientar o traço:
, , , . - Com essas informações: desenhar os eixos; marcar
no eixo e valores do eixo até cerca de ; marcar pontos , , , . Traçar uma curva suave que: - cresce para a esquerda até
, - decresce até tocar em
, - sobe até
, - decresce depois, cruzando o eixo
em e indo para .
- cresce para a esquerda até
- Lembre-se da simetria: o ramo esquerdo é espelho do direito.
Dica rápida para prova: marque primeiro zeros e máximos/minimos; ligue com linhas suaves respeitando concavidade (mudar em pontos de inflexão).
Resposta
Esboço: curva par (simétrica em
), com raízes em
e
(
), máximos locais em
, mínimo local em
, pontos de inflexão em
, e comportamento nas extremidades
quando
. O gráfico sobe até
, desce até
, sobe novamente até
e depois decresce para
.