Questão 1. Encontre
por derivação implícita:
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
a partir da equação
Informações dadas:
- Há uma relação implícita entre
e : . - A incógnita que queremos é a derivada
, isto é, a taxa de variação de em relação a . - A resposta será uma expressão em termos de
e (porque é dada implicitamente).
Passo 2
Vamos recordar as regras de diferenciação que vamos usar (explicando passo a passo, sem pressa):
- Derivada de uma soma: a derivada de
é a soma das derivadas de e de . - Derivada de
: . - Derivada de
: . - Regra da cadeia: se temos
, então . Aqui o lado direito é , então a derivada será vezes a derivada do argumento. - Regra do produto: se
e , então . - Derivada de
quando : pela regra da cadeia .
Para simplificar a escrita, vou usar a notação.
Passo 3
Derivando o lado esquerdo
em relação a
:
Passo 4
Derivando o lado direito
em relação a
usando a regra da cadeia:
Agora aplicamos a regra do produto para
, com
e
:
Portanto a derivada do lado direito é
Passo 5
Igualando a derivada do lado esquerdo e a do lado direito (porque ambas são derivadas da mesma igualdade):
Passo 6
Agora isolamos
. Primeiro dividimos ambos os lados por
(assumindo provisoriamente que
):
Subtraindo
de ambos os lados:
Finalmente dividimos por
(assumindo
e
quando necessário):
Passo 7
Podemos reescrever a mesma resposta numa forma única, sem fração dentro de fração, multiplicando numerador e denominador por
:
Observações importantes para a prova (olha o detalhe!):
- A expressão não é válida se
, porque aí ocorreu divisão por zero ao dividir por . - Também não se pode dividir por
se ou ; porém, se então, substituindo na equação original, vê-se que , logo nesse caso (ponto isolado). Em não há solução da equação original porque então teria , impossível. - Em termos geométricos: se o denominador for zero enquanto o numerador for não nulo, espera-se uma tangente vertical (derivada infinita).