Questão 1. Encontre \frac{d y}{d x} por derivação implícita: 1+x=\sin \left(x y^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \dfrac{dy}{dx} a partir da equação
1 + x = \sin\!\bigl(x y^{2}\bigr).
Informações dadas:
  • Há uma relação implícita entre x e y: 1+x=\sin(xy^{2}).
  • A incógnita que queremos é a derivada \dfrac{dy}{dx}, isto é, a taxa de variação de y em relação a x.
  • A resposta será uma expressão em termos de x e y (porque y é dada implicitamente).

Passo 2

Vamos recordar as regras de diferenciação que vamos usar (explicando passo a passo, sem pressa):
  • Derivada de uma soma: a derivada de 1+x é a soma das derivadas de 1 e de x.
  • Derivada de 1: \dfrac{d}{dx}(1)=0.
  • Derivada de x: \dfrac{d}{dx}(x)=1.
  • Regra da cadeia: se temos f(g(x)), então \dfrac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x). Aqui o lado direito é \sin(\cdot), então a derivada será \cos(\cdot) vezes a derivada do argumento.
  • Regra do produto: se u(x)=x e v(x)=y(x)^2, então \dfrac{d}{dx}[u v]=u'v+u v'.
  • Derivada de y^{2} quando y=y(x): pela regra da cadeia \dfrac{d}{dx}y^{2}=2y\cdot\dfrac{dy}{dx}.
    Para simplificar a escrita, vou usar a notação y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 3

Derivando o lado esquerdo 1+x em relação a x:
\dfrac{d}{dx}(1+x)=0+1=1.

Passo 4

Derivando o lado direito \sin\bigl(xy^{2}\bigr) em relação a x usando a regra da cadeia:
\dfrac{d}{dx}\sin\!\bigl(xy^{2}\bigr)=\cos\!\bigl(xy^{2}\bigr)\cdot\dfrac{d}{dx}\bigl(xy^{2}\bigr).
Agora aplicamos a regra do produto para \dfrac{d}{dx}\bigl(xy^{2}\bigr), com u(x)=x e v(x)=y^{2}:
\dfrac{d}{dx}\bigl(xy^{2}\bigr)=\dfrac{d}{dx}(x)\cdot y^{2}+x\cdot \dfrac{d}{dx}(y^{2}) =1\cdot y^{2}+x\cdot(2y\,y')=y^{2}+2xy\,y'.
Portanto a derivada do lado direito é
\cos\!\bigl(xy^{2}\bigr)\bigl(y^{2}+2xy\,y'\bigr).

Passo 5

Igualando a derivada do lado esquerdo e a do lado direito (porque ambas são derivadas da mesma igualdade):
1=\cos\!\bigl(xy^{2}\bigr)\bigl(y^{2}+2xy\,y'\bigr).

Passo 6

Agora isolamos y'. Primeiro dividimos ambos os lados por \cos\!\bigl(xy^{2}\bigr) (assumindo provisoriamente que \cos(xy^{2})\neq0):
\dfrac{1}{\cos\!\bigl(xy^{2}\bigr)}=y^{2}+2xy\,y'.
Subtraindo y^{2} de ambos os lados:
\dfrac{1}{\cos\!\bigl(xy^{2}\bigr)}-y^{2}=2xy\,y'.
Finalmente dividimos por 2xy (assumindo x\neq0 e y\neq0 quando necessário):
y'=\dfrac{\dfrac{1}{\cos\!\bigl(xy^{2}\bigr)}-y^{2}}{2xy}.

Passo 7

Podemos reescrever a mesma resposta numa forma única, sem fração dentro de fração, multiplicando numerador e denominador por \cos\!\bigl(xy^{2}\bigr):
y'=\dfrac{1-y^{2}\cos\!\bigl(xy^{2}\bigr)}{2xy\cos\!\bigl(xy^{2}\bigr)}.
Observações importantes para a prova (olha o detalhe!):
  • A expressão não é válida se \cos\!\bigl(xy^{2}\bigr)=0, porque aí ocorreu divisão por zero ao dividir por \cos.
  • Também não se pode dividir por 2xy se x=0 ou y=0; porém, se y=0 então, substituindo na equação original, vê-se que 1+x=\sin(0)=0, logo x=-1 nesse caso (ponto isolado). Em x=0 não há solução da equação original porque então teria 1=\sin(0)=0, impossível.
  • Em termos geométricos: se o denominador for zero enquanto o numerador for não nulo, espera-se uma tangente vertical (derivada infinita).

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{1-y^{2}\cos\!\bigl(xy^{2}\bigr)}{2xy\cos\!\bigl(xy^{2}\bigr)}

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